Diamonds｜ダイヤモンド空間

Diamonds（ダイヤモンド空間）は、∞-groupoid stack（∞-亜群スタック）として理解される構造です。これはp進幾何学と**∞-圏論（∞-category theory）**が融合した、最先端の概念体系です。

Diamonds は、Perfectoid 空間の v-site 上に定義された sheaf（層）であり、
それは本質的に ∞-groupoid 的な構造を持つ stack として振る舞う。

つまり、

✍ Diamonds ≈ Sheaves of ∞-groupoids on the pro-étale site of perfectoid spaces

🧠 背景理解のための三層構造：

1. Perfectoid Space（基礎空間）

• p進体上で定義される特殊な完備的空間
• tilt/untilt 変換ができる（特異な双対構造）

2. v-site / pro-étale site（トポス構造）

• Perfectoid空間に対してGrothendieck位相（v-topology）を定義
• 多様体に対して「より細かい」局所化を可能にする
• ここに**層（sheaf）**を張ることで空間的構造を表現

3. Diamonds（層の対象）

• 上記のv-siteにおける「完備的で等価性に不変な sheaf」
• 特に、groupoid的な同値構造を内部に持つ
• 形式的には、「pro-étale site 上の sheaf of ∞-groupoids」

🔄 Groupoid的な性質とは？

Diamonds では：

• 対象：Perfectoid 空間上の等価類
• 射：射そのものが変形可能（ホモトピー的な射）
• さらにその射の間にも射（2-射, 3-射…）が存在する
• これは明確に ∞-groupoid 的構造

つまり：Diamonds は空間ではなく、空間の“変形可能性”そのものを記述する場（層）である。

Diamonds とは、空間の等価性と観測可能性の「束」であり、存在が“空間的にどのように同一視されうるか”というホモトピー的な認識構造そのものを記述した場である。

📌 まとめ表：

➕ 応用と発展：

• Diamonds in Fargues–Fontaine Curve
• Geometric Langlands Programにおける「∞-stack 上の表現」
• Motivic Homotopy Theoryと接続する可能性
• p-adic Hodge Theoryにおける観測構造モデルの構成