ベルンハルト・リーマン｜Bernhard Riemann
ベルンハルト・リーマン（Bernhard Riemann, 1826年9月17日 – 1866年7月20日）は、19世紀ドイツの数学者であり、近代数学の地平を切り拓いた人物として非常に高く評価されています。彼の出自・生涯・歴史的貢献を以下にまとめます。
■ 出自・生い立ち
- 生誕地：ドイツ北部、ハノーファー王国のブレスレンツェ村（現・ノルトライン＝ヴェストファーレン州）
- 家族：敬虔なルター派の牧師の家庭に生まれる。貧しいが教育熱心な家庭。
- 性格：非常に内向的で繊細、かつ深く考えるタイプ。子どものころから強い数学的才能を持っていた。
■ 学歴・転機
| 年 | 出来事 |
|---|---|
| 1846年 | ゲッティンゲン大学に入学。当初は神学志望だったが、数学へ転向。 |
| 1847年 | 数学の権威カール・フリードリッヒ・ガウスの下で学び始める。 |
| 1851年 | 論文「複素関数論の基礎」で博士号取得。後にリーマン面やリーマン積分の礎となる。 |
| 1854年 | 「幾何学の基礎にある仮定について」の講演（教授資格論文）を発表。これがリーマン幾何学の誕生。 |
| 1859年 | 「素数の分布に関するリーマン予想」を含む論文を発表。数論に革命を起こす。 |
■ 歴史的貢献
1. リーマン幾何学（Riemannian Geometry）
- ガウスの曲面論を高次元に一般化。
- 曲率テンソルの導入など、後にアインシュタインの一般相対性理論の数学的基盤となる。
- 幾何学を「空間の性質を距離で記述する理論」に昇華。
アインシュタインは「自分の理論はリーマンの構想の上に築かれた」と述べたとされます。
2. リーマン予想と解析的数論
- 素数の分布がゼータ関数の零点と関係していることを発見。
- 「解析関数の性質から素数を理解する」視点を提供。
- 現代の暗号理論、計算数論にもつながる道を拓いた。
3. 複素解析・リーマン面
- 複素関数の多価性（例えば log や √関数）を扱うために「リーマン面」の概念を創出。
- 複雑な関数を幾何的に理解する手法を開拓。
4. リーマン積分
- 現代高校数学でも扱う、定積分の形式的定義（微小区間の和としての定積分）を整備。
■ 晩年と死
- 健康が弱く、結核を患っていた。
- 治療のためイタリア（特にボルジア）に滞在しながら研究を継続。
- 1866年、39歳という若さで死去。
■ リーマンの遺産
- 現代数学の解析・幾何・数論の3本柱すべてに貢献。
- 彼の研究は後世の数学者や物理学者（アインシュタイン、ヒルベルト、ハーディなど）に多大な影響を与えた。
- ミレニアム懸賞問題（クレイ研究所）に選ばれるなど、リーマン予想はいまだに世界で最も有名な数学問題の一つ。
■ 名言（とされるもの）
「私は真理そのものよりも、真理に至る道を愛する」
彼の研究のスタイルは、論理よりも直観と美的感覚を重視していたと言われています。
🔷 1. リーマン幾何（Riemannian Geometry）
リーマン幾何は、ユークリッド空間とは異なり、「曲がった空間（多様体）」の距離や角度を測るための理論です。核となるのは リーマン計量（Riemannian metric）。
● リーマン計量 gg
リーマン幾何では、各点において内積を定義するテンソル場 g（対称・正定値）を使います。
\[ds^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(x) \, dx^i dx^j\]- これは空間の「距離の平方」の定義であり、座標に依存して曲率を反映します。
- gij(x) が「空間の曲がり」を表す関数。
● 距離の定義（曲がった空間における長さ）
\[\text{Length}(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g_{ij}(\gamma(t)) \, \frac{d\gamma^i}{dt} \frac{d\gamma^j}{dt}} \, dt\]- これはパラメータ tt に沿った曲線 γ(t)の長さ。
● リーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）
空間の曲率を正確に記述するための4階テンソル：
\[ R^i_{\, jkl} = \partial_k \Gamma^i_{jl} – \partial_l \Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{km} \Gamma^m_{jl} – \Gamma^i_{lm} \Gamma^m_{jk}\]- Γijk\Gamma^i_{jk} は クリストッフェル記号（接続係数）： \[\Gamma^i_{jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left( \partial_j g_{kl} + \partial_k g_{jl} – \partial_l g_{jk} \right)\]
- 曲率テンソルが 0 ならば、その空間は「平坦」。
🔷 2. リーマン面（Riemann Surface）
リーマン面とは、複素関数（特に多価関数）を一意に定義できるようにするための2次元複素多様体です。
● 定義（ざっくり）
リーマン面とは、各点の近傍が複素平面 Cの開集合と同相であるような2次元の実多様体で、局所的に複素解析構造を持つもの。
● 例：ルート関数のリーマン面
f(z)=√z
- 通常の複素平面では z\sqrt{z} は多価（2つの値）。
- リーマン面を導入すると、枝切りを避けて「2層構造」で定義可能になる。
● 等角写像とリーマン写像定理
- 単連結で単純連結な領域（円でないもの）でも、単位円に等角（角度を保つ）に写像できる。
- リーマン写像定理： 任意の単連結な領域（ただし全平面は除く）は、単位円に等角写像される。
● 公式：コーシー–リーマンの方程式（複素解析の基礎）
リーマン面上の複素関数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)が正則 ⇔ 以下が成り立つ：
\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]- リーマン面上ではこれを局所座標で貼り合わせて「グローバル」に扱う。
🔚 まとめ
| 理論 | キー概念 | 代表公式 |
|---|---|---|
| リーマン幾何 | 曲がった空間の距離と曲率 | ds2=gijdxidxj , R jkl |
| リーマン面 | 多価関数の一価化、複素構造 | f(z)=√z, コーシー–リーマンの式 |