Pythagorean theorem｜ピタゴラスの定理（三平方の定理）

ピタゴラスの定理は、古代ギリシャのピタゴラス（Pythagoras, 紀元前570年 – 紀元前495年）によって証明されたと伝えられていますが、それ以前にもインドや中国で知られていた可能性があります。

ピタゴラスの定理の証明方法は、400種類以上存在するといわれています。以下、代表的な証明方法を紹介します。

1. 面積を利用する方法

（最も有名な証明のひとつ）

1. 大きな正方形を使う証明
   • 辺の長さが (a+b)(a+b)(a+b) の正方形を考え、その中に4つの同じ直角三角形を配置する。
   • 余った部分が小さな正方形 c2c^2c2 になることを示す。
2. 2つの正方形の面積比較
   • 4つの直角三角形を並べ替えて、2つの異なる配置を作る。
   • どちらの配置でも合計面積は同じであり、結果として a²+b²=c² が成立する。

2. 相似を利用する方法

（ユークリッドの証明）

• 直角三角形を高さで2つの小さな三角形に分割すると、それぞれが元の三角形と相似であることが分かる。
• 相似比を使って a²+b²=c² を導出。

3. ベクトルを使う証明

• 直角三角形の各頂点を座標として考え、距離公式（ユークリッド距離）を用いる。
• 座標 (0,0), (a,0)(a,0)(a,0), (0,b) の3点の距離関係を計算すると、ピタゴラスの定理が成り立つ。

4. 三角関数を利用する証明

• 直角三角形の辺の比率と三角関数の関係を利用する。
• コサインの定理（余弦定理）を特別な場合（90度）に適用すると、ピタゴラスの定理に帰着する。

5. 積分を使う証明

• 直角三角形を回転させ、円や放物線との関係を解析的に求めることで、ピタゴラスの関係式が得られる。

6. 幾何学的変換を用いる証明

• 三角形を回転・反転させたり、切り分けて組み替えたりすることで a²+b²=c² を視覚的に示す。

7. 数学的帰納法を用いる証明

• 小さい値（例えば n=1,2）でピタゴラスの定理が成り立つことを確認し、一般の nについて帰納的に証明する。

まとめ

ピタゴラスの定理には多くの証明方法がありますが、代表的なものは次の7種類です：

1. 面積を利用する方法
2. 相似を利用する方法
3. ベクトルを使う方法
4. 三角関数を利用する方法
5. 積分を使う方法
6. 幾何学的変換を用いる方法
7. 数学的帰納法を用いる方法

4. 一般化（n次元空間での拡張）

2次元（三角形）: a²+b²=c²

3次元（直方体の対角線）: a²+b²+c² =d²

n次元: x²₁+x²₂+…+x²_n=r² （ユークリッド距離）