Logic｜論理学

logicによる証明方法の基本は、大きく以下の5つに分類されます。

① 直接証明法（Direct Proof）

ある命題 P⇒Q を証明する際に、前提 Pを仮定し、そこから論理的に帰結して結論 QQを導きます。

例
「偶数同士の和は偶数である」
（2つの偶数を 2a,2b と表し、和が 2(a+b) と表現できるため、偶数である。）

② 対偶証明法（Proof by Contrapositive）

命題 P⇒Q とその対偶 ¬Q⇒¬P は同値です。
つまり、元の命題が証明しづらい場合、対偶を証明します。

例
「整数 nが奇数ならば、n² は奇数である」
の対偶は、
「n^2 が偶数ならば、nは偶数である」となり、こちらの方が証明しやすい場合があります。

③ 背理法（Proof by Contradiction）

証明したい命題 P を否定した仮定 ¬Pを置き、そこから論理的に矛盾を導き出すことで、元の命題が真であることを証明します。

例
「2​ が無理数である」を証明するとき、
まず有理数だと仮定し、矛盾を導いて結論付けます。

④ 帰納法（Mathematical Induction）

命題が自然数に関して成り立つことを証明する場合、次の2ステップを踏みます。

• 基底段階 (Base Step)
  特定の初期値（例えば n=1）で命題が成立することを示します。
• 帰納段階 (Inductive Step)
  n=kの時に成立すると仮定し、n=k+1 の時も成立することを証明します。

例
「自然数の総和公式 1+2+3+⋯+n=n(n+1)/2が全ての自然数で成り立つこと」を帰納法で証明します。

⑤ 反例による証明（Proof by Counterexample）

ある命題が「常に成立しない」ことを証明するために、具体的に反例を示します。

例
「全ての奇数は素数である」という主張に対して、
「9」という反例を挙げることで命題を否定します。

以上がlogic（論理）に基づく証明の基本的な方法です。