幾何学の分類

幾何学は大きく以下のように分類されます。

① 古典幾何学（Classical Geometry）

• ユークリッド幾何学（Euclidean Geometry）
  • 紀元前3世紀頃の古代ギリシャの数学者ユークリッド（Euclid）によって体系化。
  • 平面や立体の性質、点・線・角度などを扱う。
  • 並行線の公理（Parallel postulate）を仮定。
  • 日常的に経験する空間の幾何学。
• 非ユークリッド幾何学（Non-Euclidean Geometry）
  • 19世紀に成立。
  • ユークリッドの並行線公理を否定して新しい幾何学が成立。
  • 2種類の代表的な幾何学：
    • 双曲幾何学（Hyperbolic Geometry）：無数の平行線が引ける（ガウス、ロバチェフスキー、ボヤイ）。
    • 楕円幾何学（Elliptic Geometry）：平行線は存在しない（リーマン幾何学の一種）。

② 現代幾何学（Modern Geometry）

• 微分幾何学（Differential Geometry）
  • 18世紀末〜19世紀：ガウスやリーマンにより確立。
  • 曲線・曲面・多様体の曲率・接線・微分構造を扱う。
  • 一般相対性理論の基礎（リーマン幾何学）となる。
• 位相幾何学（トポロジー、Topology）
  • 19世紀後半〜20世紀に発展。
  • 「連続的変形」で不変な図形の性質を研究。
  • 穴の数や連結性を扱う。
• 代数幾何学（Algebraic Geometry）
  • 古代ギリシャ起源だが、本格的に確立したのは19〜20世紀。
  • 多項式方程式の解の集合として幾何的対象を研究。
  • フェルマーの最終定理や現代数学の最先端で活躍。
• 離散幾何学（Discrete Geometry）
  • 20世紀〜現代：離散的（整数的）な対象を研究。
  • 組合せ幾何学や計算幾何学とも関連が深い。
  • コンピューターサイエンスや暗号理論で活用される。

③ 幾何学の応用分野

• 計算幾何学（Computational Geometry）
• フラクタル幾何学（Fractal Geometry）
• 位相的データ解析（Topological Data Analysis：TDA）
• 情報幾何学（Information Geometry）

幾何学の歴史的発展

幾何学は、古代から現代まで、次のような流れで進化しました。

【古代（紀元前〜紀元後3世紀）】

• 古代エジプト・バビロニア：土地測量のための実用幾何。
• 古代ギリシャ：
  • ピタゴラス、プラトン、アルキメデスが幾何学的思考の基礎を確立。
  • ユークリッド『原論』：初の体系的な公理的幾何学。

【中世〜ルネサンス期（4〜16世紀）】

• イスラム世界でユークリッド幾何学を伝承・発展。
• ルネサンス期ヨーロッパ：透視図法、幾何光学、遠近法など応用が進む。

【17〜18世紀（解析幾何学の誕生）】

• デカルト（Descartes）『方法序説』（1637）で「座標系」を導入。
• 解析幾何学（Analytic Geometry）誕生：代数と幾何の融合。
• ニュートン（Newton）やライプニッツ（Leibniz）の微分・積分学が幾何学の範囲を拡張。

【19世紀（幾何学革命）】

• ガウス、ロバチェフスキー、ボヤイ：非ユークリッド幾何学の誕生。
• リーマン（Bernhard Riemann, 1826-1866）：リーマン幾何学の創設。
• クライン（Felix Klein, 1849-1925）：「エルランゲン・プログラム（1872）」を提示。
  → 幾何学を対称性（群）により分類・統一する視点が成立。

【20世紀〜現代（幾何学の多様化と高度化）】

• アインシュタイン（Einstein）：一般相対性理論（1915）でリーマン幾何学を応用。
• 位相幾何学や代数幾何学が著しく発展（ポアンカレ、グロタンディーク）。
• コンピューターの発展に伴い、計算幾何学や情報幾何学、データ科学への応用が進展。
• 数学の他の分野（数論、代数学）との相互作用でさらに進化。

幾何学の流れ（時系列まとめ）

結論

幾何学はもともと「空間を理解するための数学」として発展し、現代では「空間構造を通じて現象を理解する」ための道具として、多様な分野に広がっています。歴史を通じて幾何学は、公理・代数・解析など他分野との相互作用により深みを増し、今なお発展を続けています。