トポロジカル（topological）vs ホモトピカル（homotopical）
「トポロジカル（topological）」と「ホモトピカル（homotopical）」は似て非なる概念です。
両者は密接に関係していますが、焦点と扱う対象が異なります。
✅ 結論：
すべてのホモトピカルな性質はトポロジカルですが、すべてのトポロジカルな性質がホモトピカルとは限りません。
- ホモトピカル（homotopical） = 「連続変形（ホモトピー）で不変な性質」
- トポロジカル（topological） = 「連続写像や開集合で定義される性質」
🧩 違いを表にすると：
| 観点 | トポロジカル | ホモトピカル |
|---|---|---|
| 基本対象 | 位相空間と連続写像 | 位相空間のホモトピー類、またはホモトピー圏 |
| 焦点 | 空間の開集合構造 | 空間の「連続変形による分類」 |
| 不変性 | 位相同型で不変 | ホモトピー同値で不変 |
| 例 | 連結性、コンパクト性、Hausdorff性など | 基本群（π₁）、ホモトピー群（πₙ）、CW構造など |
| 観点の厳しさ | より細かい（微分構造など不要） | より粗い（形が連続的に変形できれば同じ） |
🌊 イメージで表現すると：
- トポロジカル視点は「空間をそのまま詳しく見る」
→ 細かい性質も気にする（例：開集合の形、分離性） - ホモトピカル視点は「形が変わっても“連続的に変形できるなら同じ”とみなす」
→ より「形状の本質」だけを取り出す
→ トポロジーの“影”とも言える
🧠 例で理解する：
トーラスとコーヒーカップ
- トポロジカルには同じ：連続変形で写せる（位相同型）
- ホモトピカルにも同じ：当然、ホモトピー同値でもある
円 S1S^1 と楕円
- トポロジカルには同じ
- ホモトピカルにも同じ
円 S1S^1 と1点
- トポロジカルには異なる
- ホモトピカルにも異なる（基本群が違う）
ドーナツと球面
- トポロジカルにも異なる
- ホモトピカルにも異なる
二つのホモトピー同値な空間
- トポロジカルには別物でも
- ホモトピカルには「同じ空間」とみなす
🔧 数学的定義レベルでの違い
| 種類 | 同値関係 | 対象 | 典型的構造 |
|---|---|---|---|
| トポロジカル | 位相同型（homeomorphism） | Top（位相空間の圏） | 開集合、連続写像 |
| ホモトピカル | ホモトピー同値（homotopy equivalence） | Ho(Top)（ホモトピー圏） | 基本群、ホモトピー群、CW複体など |
✨まとめ
| 問い | 答え |
|---|---|
| トポロジカルとホモトピカルは同じ？ | いいえ、ホモトピカルはトポロジカルな性質の“粗視化”です。 |
| ホモトピカルな性質はトポロジカル？ | はい。 ただしトポロジカル性の中でも特定の不変性に対応 |
| どちらが本質的？ | 見たい対象によります。HoTTや意味論ではホモトピカルが本質的 |
Homotopical（ホモトピカル）な性質は Topological（トポロジカル）な性質の“部分集合”ではありませんが、
**「トポロジカルな性質から導かれる、より粗視化された分類体系」**と捉えるのが適切です。
つまり、**包含関係というよりも、「トポロジカルな世界を粗く見たときに出てくる性質のクラス」**がホモトピカルなのです。
🧩 形式的に言うと：
- Top = 位相空間と連続写像の圏
- Ho(Top) = Topをホモトピー同値で「局所化」したホモトピー圏
このとき：
- Ho(Top) は Top の「圏としての像」であり、対象は同じでも射（写像の同値関係）が違う。
- よって、「ホモトピカルな性質 ⊂ トポロジカルな性質」とは言えないが、
「トポロジカルな性質の中に、ホモトピカルな性質が“導出される”」とは言えます。
🧠 イメージ的にいうと：
| 視点 | トポロジカル | ホモトピカル |
|---|---|---|
| 焦点 | 空間そのものの構造 | 空間の“変形可能性” |
| 精度 | 高精度（距離以外は全部見る） | 低精度（変形で同じならOK） |
| 構造 | 開集合、連続写像などの詳細 | ホモトピー類、パス連結性、基本群 |
| 例 | T1空間、Hausdorff空間、正規空間など | 基本群、ホモトピー同値、CW複体構造 |
👉 ホモトピカル性はトポロジカル性を「同値類に圧縮」した構造。
そのため、トポロジカルな性質全体を包含しているわけではありません。
🧠 数学的にまとめると：
| 内容 | 含意 |
|---|---|
| ホモトピー同値 ⇒ 同じホモトピカル性 | ✅ |
| ホモトピー同値 ⇒ 同じトポロジカル性 | ❌（例えばHausdorff性などは保たれない） |
| トポロジカル性 ⊂ ホモトピカル性？ | ❌（逆も違う） |
| ホモトピカル性 ⊂ トポロジカル性？ | ❌（射の圏の構造が違うため） |
| 適切な表現 | 「ホモトピカル性はトポロジカルな構造から誘導される粗視化的性質」 |
🔁 たとえ話（粒度の違い）
- トポロジカル：写真のピクセル1つ1つを見るような細かさ
- ホモトピカル：その写真が猫か犬かを判断する「分類器」
つまり、「猫っぽければ同じ」でOK、細かい模様や色は問わない。
この「分類」の方がホモトピカルな性質。
✨まとめ
「ホモトピカルな性質はトポロジカルな性質の部分集合か？」という問いに対して、厳密には
❌ No（集合としての包含関係ではない）
✔️ ただし、トポロジカルな構造を“粗視化”して得られる性質群である