リーマン幾何からアインシュタイン一般相対性理論の展開

by TANAAKK
in Physics
on 2025-04-11

🔷 一般相対性理論とリーマン幾何の関係

**アインシュタインの一般相対性理論（1915年）**は、以下の主張に基づいています：

「重力は力ではなく、時空の曲がり（幾何）である」

つまり、重い物体があるとその周囲の**時空（space-time）**が曲がり、他の物体はその曲がった時空に沿って運動する＝これが重力の正体、というわけです。

🔷 リーマン幾何が登場する理由

重力を「時空の曲がり」として記述するには、曲がった空間を記述できる数学が必要です。それこそが、1854年にベルンハルト・リーマンが構築した：

リーマン幾何（Riemannian Geometry）
➜ 空間の各点に局所的な内積（距離）構造を与える理論

ただし、時間軸を含むため、実際には「リーマン幾何の拡張版」である：

ローレンツ多様体（Lorentzian manifold）
➜ 計量テンソルの符号が異なる（+−−−など）

🔷 数式で見る：一般相対性理論の構造

● 1. 時空の基本構造（計量テンソル）

4次元時空（3次元空間 + 1次元時間）上に計量テンソル g_μν {\mu\nu} を定義します：

ds²=g_μν(x) dx^μdx^ν

ds²：事象間の時空間隔（光や物体の移動距離）
g_μν：時空がどれだけ曲がっているかを表す「重力場」

● 2. 時空の曲がり：リーマン曲率テンソル

リーマン幾何と同様、時空の曲率は以下のリーマン曲率テンソルで与えられます：

R ^σ_μνρ

さらに、これから次の2つを構成：

リッチテンソル： R_μν=R^ρ_μρν
スカラー曲率： R=g^μνR_μν

● 3. アインシュタイン方程式（Einstein Field Equations）

この理論の中心となる重力の方程式がこちら：

\[R_{\mu\nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\]

左辺：**時空の曲がり（幾何）**を記述
右辺：エネルギー・運動量テンソル T_μν（物質やエネルギーの分布）

この式の意味は簡単に言うと： 「エネルギーがあるところに時空の曲がりが生じ、その曲がりが物体の運動を支配する」

🔷 リーマン幾何が支える一般相対論のポイント

概念	リーマン幾何との関係
時空の構造	多様体＋計量テンソル g_μν（リーマン計量の応用）
重力場	曲率テンソル（リーマン曲率テンソル）で定式化
物体の運動	測地線（geodesic）に沿って動く（最短距離の一般化）
ブラックホール、宇宙膨張	解として得られる（シュワルツシルト解、フリードマン方程式など）

🔚 まとめ：なぜリーマン幾何が本質なのか？

アインシュタインが言ったとされる言葉：

「私はリーマンの幾何学に従っただけだ」

彼の発想の天才性は「重力＝曲率」という直観ですが、
それを数学的に構築し、定式化したのはリーマンの理論だったのです。

🔷 ステップ0：アインシュタインの問題意識

「重力とは何か？ニュートンのような即時的な“引力”ではなく、時空が曲がることではないか？」

この「曲がり」を定式化する数学が必要 → リーマン幾何に出会う

🔷 ステップ1：リーマンの構成（曲がった空間の数学）

● 概念：リーマン計量 g_μν(x)

ds²=g_μνdx^μd^x

空間の距離や角度の定義。
アインシュタインはこれを**「重力場の本体」**とみなした。

● 曲率テンソル：空間の「ねじれ・曲がり」

リーマン曲率テンソル R^ρ_σμν \rho_{\ \sigma\mu\nu}：最も一般的な曲率の記述。
リッチテンソル R_μν：上記から縮約して得る、より扱いやすい2階テンソル。
スカラー曲率 R：さらに縮約した1個のスカラー値。

🔷 ステップ2：アインシュタインが要求した「物理的条件」

アインシュタインは、以下のような「物理的要件」を課しました：

① 一般共変性（一般相対性原理）

どんな座標系でも形式が同じ方程式であること。

② 質量保存・エネルギー保存の成立

テンソルの保存則： ∇^μT_μν=0

③ ニュートン重力理論の極限で再現

弱い重力・低速運動（=ニュートン近似）において、 ∇²ϕ=4πGρ　 \rho を再現する必要がある（ポアソン方程式）

🔷 ステップ3：それらをすべて満たす「唯一の形」

この物理的要件をすべて満たす方程式を探す中で、アインシュタインは最終的に以下の構造にたどりつきました：

\[R_{\mu\nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\]

❶ 左辺：時空の曲がり（幾何）

リッチテンソル R_μν：局所的な曲率
スカラー曲率 R：全体の曲がりの平均
g_μν：重力場そのもの（=距離の定義）

この組み合わせでこそ、保存則を満たし、ニュートンの重力方程式に一致する

❷ 右辺：物質の分布（物理）

エネルギー・運動量テンソル T_μν：
物質、エネルギー、圧力、運動などをすべて含むテンソル。

🔷 なぜ係数が「8πG / c⁴」なのか？

これはアインシュタインが最終的に「ニュートンの万有引力を極限として得るため」に定めたものです。

● 弱重力近似（低速、弱い重力）では…

アインシュタイン方程式は次のように縮約され： ∇²ϕ=4πGρ
これと整合するために、係数がちょうど： 8πG/c⁴でなければならないことが導かれます。

🔚 まとめ：なぜこの式になるのか？

要求	構成
空間の曲率を表したい	リーマン幾何： R_μν,R, g_μν
保存則を守りたい	テンソル構造＋共変微分： ∇^μT_μν=0
ニュートン力学の近似を含みたい	弱重力近似で ∇²ϕ=4πGρ
結果としてこの形になる

\[R_{\mu\nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\]

この一つの式が宇宙の膨張、ブラックホール、重力波、時間の遅れといった、すべての重力現象を説明してしまうのです。

リーマン幾何からアインシュタイン一般相対性理論の展開