Kurt Gödel｜クルト・ゲーデル

クルト・ゲーデル（Kurt Gödel）は、20世紀最大の論理学者・数学者の一人であり、**不完全性定理（1931年）**によって数学と哲学の根幹に重大な影響を与えました。その生涯を以下にまとめます。

🔹 基本情報

🔸 生涯と業績の年表

🔹 哲学的立場と影響

• 数学的プラトニズムの擁護者：
  • 数学的対象は人間の外に独立して「存在する」と考えていた。
• ヒルベルトの形式主義を超える論理観：
  • 論理や数学の「真理」は、形式体系の中にすべては収まらないと証明した。
• ウィトゲンシュタイン、ヒルベルト、ラッセル、チューリングらとの深い思想的つながり

🔸 ゲーデルにまつわる逸話・特徴

• 子どものころから「小さな先生」と呼ばれるほど理屈っぽく好奇心旺盛
• 精神的に繊細で強迫的傾向があり、何度も神経衰弱を患った
• 晩年には「他人に毒を盛られる」という妄想をもち、妻が食事を与えられなくなると餓死してしまった

🔹 主な業績まとめ

ゲーデルの 第一・第二不完全性定理（1931年） は、現代数学・論理学・計算理論における最重要定理のひとつで、形式的体系の限界を初めて明示した歴史的業績です。以下、詳しくかつ体系的に解説します。

✅ 概要まとめ

🔹 第一不完全性定理（1931）

◾ 主張（自然言語）

ある合理的な形式的体系（例：ペアノ算術やZFCなど）が無矛盾であれば、その体系には 「その体系内では証明できないが、真である命題」が必ず存在する。

◾ 前提条件

• 体系は**算術を含む（自然数論）**十分な表現力を持つこと。
• 無矛盾であること（矛盾を導かない体系であること）。

◾ 概略証明ステップ（直観）

1. ゲーデル数化：記号列・証明などを自然数に変換（エンコード）。
2. 証明可能性述語 Prov(x) の構築：x が証明可能な命題のゲーデル数かを表す述語。
3. ダイアゴナル補題：自己言及命題 G を構成する。
   • 「この文は証明できない」と主張する文 G を構築。
4. 分析：
   • G を証明できれば → G は「証明できない」が成り立たない → 矛盾
   • G を証明できなければ → G の主張どおりで真 → 真だが証明不能

🔹 第二不完全性定理（1931）

◾ 主張（自然言語）

任意の無矛盾な形式的体系（例：ペアノ算術、ZFCなど）は、自らの無矛盾性（Con(T)）を内部で証明できない。

◾ 解釈

形式体系 T の内部で「T は矛盾を導かない（つまり ⊥ を導かない）」という命題 Con(T) を構築したとしても、

T ⊢ Con(T) が成り立つなら、T はすでに矛盾している。

◾ 証明の流れ（概要）

1. Con(T) を「⊥（矛盾記号）を証明できない」こととして定式化する：
   Con(T)≡¬Prov(⌜⊥⌝)
2. 第一不完全性定理の命題 G は、T が無矛盾なら証明不能。
3. T の内部で G の証明不能性を前提とすると、逆に Con(T) が T の中では証明できないことが導かれる。

🔸 定理の意義とインパクト

🔹 図解：ゲーデルの定理の位置づけ

数学（算術）を含む形式体系
 ├─ 有限の公理
 ├─ 明確な推論規則
 └─ 機械的に検証可能

 ↓（ゲーデル）
【第一定理】 真だが証明不能な命題が存在！
【第二定理】 自分の無矛盾性すら証明できない！