ユニタリ群とは｜Unitary Group
ゲージ理論において登場するユニタリ群（U(n) や SU(n)）は、 ゲージ対称性 を表すリー群（Lie group）の一種であり、特にヤン・ミルズ（Yang–Mills）理論において基本的な役割を果たします。
ゲージ理論では、素粒子の相互作用が場のゲージ対称性という概念により記述されます。このゲージ対称性を数学的に実現するために使われる群が「ユニタリ群」（U(n)）または「特殊ユニタリ群」（SU(n)）です。
❶ ユニタリ群（U(n)）と特殊ユニタリ群（SU(n)）の違い
ゲージ理論で使われる群は主に 特殊ユニタリ群 SU(n)です。これに対してユニタリ群 U(n)は、行列式の制限を持ちませんが、SU(n)は行列式が必ず1となります。
- ユニタリ群（U(n)）:
U(n)={ U∈GL(n,C)∣U†U=I }
- 特殊ユニタリ群（SU(n)）:
SU(n)={ U∈U(n)∣det(U)=1 }
物理では通常、対称性を考える上で「全体の位相（global phase）」は観測に影響しないため、行列式を1に制限した SU(n) の方が使われます。
❷ ゲージ理論におけるユニタリ群の意味
ゲージ理論は場の理論であり、「局所的な対称性」を持つ理論のことです。これは、空間の各点で 場の位相を独立に変換 しても理論の物理的内容が変わらないことを意味します。
この「局所的な位相変換」は数学的に「ユニタリ群」または「特殊ユニタリ群」を使って表現されます。
例えば、電子の電磁相互作用（量子電磁力学, QED）の場合、ゲージ群は最も単純なユニタリ群である： U(1)
を使います。この場合は「複素位相の回転（フェーズ変換）」という単純な操作になります。
一方、強い相互作用（クォーク同士を結びつける力）を記述する 量子色力学（Quantum Chromodynamics, QCD） では、ゲージ群として特殊ユニタリ群： SU(3)
を使います。この場合、フェーズ変換はより複雑で、クォークは「赤、緑、青」という3つの「色」を持つため、3次元複素空間での回転になります。
❸ ヤン・ミルズ（Yang–Mills）理論との関係
ヤン・ミルズ理論とは、非可換ゲージ群を持つゲージ理論の総称であり、1954年にヤン（楊振寧）とミルズが導入しました。ここでの非可換とは、群の元の掛け算の順番を変えると結果が異なる（AB≠BA）ことを指します。
- アーベルゲージ理論 (Abelian Gauge Theory)
群：U(1)（可換）
例：量子電磁力学 (QED) - 非アーベルゲージ理論（Non-Abelian Gauge Theory, Yang–Mills理論）
群：SU(n)や SO(n)（非可換）
例：量子色力学 (QCD), 弱い相互作用 (Weinberg–Salamモデル)
つまり、ヤン・ミルズ理論とは、非アーベルゲージ群（特に SU(n) など）を持つゲージ場理論のことです。
特に：
- 量子色力学 (QCD) はゲージ群として SU(3) を採用したヤン・ミルズ理論です。
- 電弱統一理論 (Weinberg–Salamモデル) は SU(2)×U(1)というゲージ群を持つヤン・ミルズ理論の一種です。
❹ なぜユニタリ群なのか？
ユニタリ群が好まれるのは、物理的な量子系の状態が複素数の波動関数で表現され、それらの位相の変換を自然に表現できるためです。さらに、ユニタリ群は内積（確率や確率振幅の保存）を自然に保つため、量子理論との相性が非常に良いです。
特に、特殊ユニタリ群 SU(n)は次の理由で頻繁に使われます。
- ゲージ理論においては、「全体の位相因子」は物理的に無意味なので、U(n)より SU(n)が自然に登場します。
- 対称性を担う場（ゲージ場）を、ゲージ群のリー代数の生成子で展開し、ゲージ粒子（フォトン、グルーオン、W/Z粒子）を自然に導入できます。
❺ ヤン・ミルズ理論におけるゲージ群の例まとめ：
| 理論 | 相互作用 | ゲージ群 |
|---|---|---|
| QED（量子電磁力学） | 電磁相互作用 | U(1) |
| 弱い相互作用 (Weinberg–Salam) | 弱い相互作用 | SU(2)×U(1) |
| QCD（量子色力学） | 強い相互作用 | SU(3) |
ヤン・ミルズ理論は非アーベル群（主に SU(n)）を用いたゲージ理論を指すため、QCDや弱い相互作用は典型的なヤン・ミルズ理論と言えます。
✅ 結論（まとめ）：
- ユニタリ群（U(n)）と特殊ユニタリ群（SU(n)）はゲージ理論の「局所位相対称性」を記述するために使用されます。
- 特に 特殊ユニタリ群 SU(n)がよく用いられます。
- ヤン・ミルズ理論とは非可換ゲージ群（特に SU(n)）を持つゲージ理論を指します。
- QCD（量子色力学）や弱い相互作用の理論は、ヤン・ミルズ理論の重要な具体例です。
ゲージ理論において、ユニタリ群は量子力学的な「内積保存性」と「位相変換の自由度」を自然に取り込んでいるため、物理学で重要な役割を担っています。