Möbius loop｜メビウスの輪
「Möbius loop（メビウスの輪、メビウスループ）」とは、帯状のものを一回ひねって両端をつなぎ合わせてできる、特殊な形状をした図形のことです。「メビウスの帯（Möbius strip）」とも呼ばれます。
特徴と性質
メビウスの輪は、数学の位相幾何学（トポロジー）で重要な概念であり、次のような興味深い性質があります。
① 表と裏が区別できない
通常の帯には「表面」と「裏面」がありますが、メビウスの輪は一度ひねられているため、一つの面だけが存在します。指で帯をなぞっていくと、裏面に移動したように感じますが、実際には同一の面を移動しています。
② 辺が一つしかない
帯には通常、上下2本の辺がありますが、メビウスの輪の場合は1本の辺しかありません。辺を指でなぞっていくと一周するだけで元の位置に戻ります。
③ 切断したときの面白い性質
メビウスの輪を中央で1回切ると、2つに分かれるのではなく、より大きな一つの輪になります。さらにもう一度切ると、互いに絡み合った輪が2つ現れます。
応用例
メビウスの輪は、その不思議な性質から以下のような分野に応用されています。
- 数学：位相幾何学における基本的な研究対象
- 工学・機械設計：コンベヤーベルトの設計（帯の摩耗を均一化）
- アート・デザイン：無限性や循環性の象徴として利用
- 哲学・文学：表裏一体や無限性のメタファー
数学的な表現（参考）
数学的には、メビウスの輪を3次元空間内で次のパラメトリック方程式を使って表すことができます。
\[x(u,v) = \left(1 + \frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos u, \quad y(u,v) = \left(1 + \frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin u, \quad z(u,v) = \frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}\]ここで、0≤u<2π、−1≤v≤1です。
まとめ
メビウスの輪は、シンプルな構造でありながら、直感に反するユニークな性質を持つ図形です。その興味深い性質から、数学や工学のみならず、多くの分野で象徴的に活用されています。
メビウスの輪（帯）を切る実験は、その意外な結果からよく知られています。
① メビウスの輪を「中央」で1回切ると？
通常の輪（帯状の紙）の中央をぐるっと1周切ると、2つの輪に分かれますが、
- メビウスの輪の場合、1回ひねりがあるため、中央を切ると、
- 2つに分離されず、より長い1つの輪（帯）になります。
- この新しい輪は、元のメビウスの輪とは異なり、ひねりが2回ある輪になります。
直感的には不思議ですが、これはメビウスの帯の構造上、「1周」が元の帯を2回巡回する形になっているために起こります。
② さらにもう一度（再度中央を）切ると？
最初に切ってできた、「ひねりが2回ある輪」をさらに中央で切ると、
- 「絡み合った（鎖状の）2つの輪」になります。
- この2つの輪は互いに分離していません。つまり、2回切ったことで、鎖のようにつながった輪が現れるのです。
- それぞれの輪は元の帯より細くなりますが、互いに独立せず、絡み合ったまま離れない状態になります。
なぜこうなるか
- メビウスの輪の「1周」は「帯の両面」を辿ることになるため、中央を切ると、単純に2つに分離されるのではなく、「より長い一つの輪」になってしまうのです。
- 再度切る時は、「2回のひねり」がある帯を切るため、2つの輪が絡み合った状態になります。
実験方法
- 紙の細長い帯を用意し、一回ひねって端をテープで止め、「メビウスの輪」を作ります。
- 帯の中央線を鉛筆などで線を引き、一周する線を引きます。
- この線に沿ってハサミで切ります。
- ここで、一つの長い輪ができます。
- もう一度中央に線を引き、その線を切ります。
- 絡み合った2つの輪が完成します。
まとめ（結果の表）
| 切る回数 | 結果 |
|---|---|
| 0回（元のメビウスの輪） | ひねりが1回の輪（帯） |
| 1回目 | ひねりが2回ある1本の長い輪 |
| 2回目 | 絡み合った2本の輪（ひねりがある鎖状） |