フェルミ球｜Fermi Sphere
フェルミ球（Fermi Sphere）およびフェルミ面（Fermi Surface）は、固体物理学、特に金属や半導体などの電子の振る舞いを考える際に重要な概念です。
① フェルミ球（Fermi Sphere）とは
定義： フェルミ球とは、絶対零度（0 K）において自由電子が占める運動量空間（波数空間）内の球状の領域です。電子はフェルミ粒子（フェルミオン）であり、パウリの排他律により一つの量子状態を複数の電子が占めることができないため、最低エネルギー準位から順番に電子が占有していった結果、ある一定のエネルギー（フェルミエネルギー）までが電子によって占められます。その結果としてできるのがフェルミ球です。
フェルミ波数とフェルミエネルギー： フェルミ球の半径をフェルミ波数（kFk_F）と呼び、この波数に対応するエネルギーをフェルミエネルギー（EFE_F）といいます。
自由電子の場合のフェルミエネルギーは以下で与えられます：
\[E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}\]
（ℏ\hbar：換算プランク定数、m：電子の質量）
- 絶対零度（0 K）では、電子はすべてフェルミ球の内側にあり、それ以上高いエネルギーの状態は空いています。
② フェルミ面（Fermi Surface）とは
定義： フェルミ面は、フェルミ球の「表面」、つまりフェルミエネルギーに対応する波数空間上の曲面です。言い換えると、電子が占有している状態と占有していない状態を隔てる境界面のことです。
- 自由電子系の場合、フェルミ面は完全な球形（フェルミ球の表面）になります。
- 実際の結晶中では、周期的なポテンシャルの影響でエネルギーバンド構造が形成され、フェルミ面は必ずしも球状ではなく、複雑な形状を取ります。
フェルミ面の重要性
フェルミ面の形状は電子の性質を大きく左右します。
- 電気伝導性：フェルミ面近傍の電子状態が電流の輸送に直接関与します。
- 磁気的性質：磁場中での電子の運動（サイクロトロン共鳴）はフェルミ面の形状に依存します。
- 熱的性質：比熱や熱伝導もフェルミ面近傍の電子分布に依存します。
- 超伝導性：フェルミ面の形状や電子状態密度の特性が超伝導状態の形成に深く関与します。
まとめ（簡潔に）
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| フェルミ球 | 0 Kで電子が占有する波数空間内の球状領域 |
| フェルミ面 | 占有電子状態と非占有状態を分ける波数空間の境界面（自由電子系では球面） |
| 重要性 | 電気・磁気・熱的性質など電子特性に直結 |
フェルミ球やフェルミ面の概念は、明確な「単独の論文による発表」というより、複数の物理学者の研究成果を通じて段階的に形成されました。その起源は以下のようになります。
📌 フェルミ球の起源と発表時期（1926年）
- フェルミ球の元となる基本的な概念は、1926年にエンリコ・フェルミ（Enrico Fermi）が発表した「フェルミ統計（Fermi statistics）」に由来します。
- フェルミ統計は、フェルミ粒子（電子など）の量子統計分布を記述したもので、フェルミ自身が1926年に論文で発表しました。
- 論文：
- Fermi, E. (1926)
「Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases」
Zeitschrift für Physik, Vol. 36, pp. 902-912.
（邦訳『単原子理想気体の量子化について』）
- Fermi, E. (1926)
- この論文では、絶対零度で電子がエネルギーの低い状態から順に占有され、ある特定のエネルギー（フェルミエネルギー）まで電子が詰まるという概念が初めて提唱されました。
この時点で、明確に「フェルミ球」という用語はまだ登場していませんでしたが、フェルミ球の概念の原型が示されています。
📌 フェルミ面（Fermi surface）の明確な登場（1930年代初頭）
- 「フェルミ面」の明確な概念が登場したのは、1930年代初頭、特に1933年のArnold Sommerfeld（ゾンマーフェルト）およびHans Bethe（ベーテ）らの研究によります。
- Arnold Sommerfeldは1933年の著書：
- Arnold Sommerfeld, Hans Bethe (1933)
『Elektronentheorie der Metalle（電子論）』
Handbuch der Physik, Vol. 24. において、金属内の電子が占有する状態を波数空間内の一定のエネルギー（フェルミエネルギー）面まで占有することを示し、この境界面を明確に定義しています。
- Arnold Sommerfeld, Hans Bethe (1933)
- この頃から明確に「フェルミ面（Fermi surface）」という用語が使われるようになりました。
📌 まとめ（時系列）
| 年代 | 研究者 | 発表・出来事 | 意義 |
|---|---|---|---|
| 1926年 | エンリコ・フェルミ | フェルミ統計発表 | フェルミ球・フェルミエネルギーの原型 |
| 1933年頃 | ゾンマーフェルト、ベーテら | 電子論（『Elektronentheorie der Metalle』） | フェルミ面（Fermi Surface）の概念が明確化 |
📌 結論
- フェルミ球（の概念の原型） は、エンリコ・フェルミによって1926年に提唱されました。
- フェルミ面という概念は、ゾンマーフェルトやベーテらによって1933年頃に明確に定義・定着しました。
その後、これらの概念は金属電子論・固体物理学の基礎として定着し、現在に至っています。
「フェルミ推定」のフェルミは、「フェルミ球」や「フェルミ面」のフェルミと同一人物です。
これらはいずれも、イタリア出身の物理学者、**エンリコ・フェルミ（Enrico Fermi, 1901–1954）**に由来しています。
なぜ「フェルミ推定」と呼ばれるのか？
エンリコ・フェルミは、原子核物理学など幅広い分野で活躍した物理学者ですが、同時に優れた概算能力を持ち、精密なデータがない状況でも大まかにスケール感を掴む「ざっくりとした見積もり」を頻繁に行いました。これがのちに「フェルミ推定」と呼ばれるようになりました。
フェルミは次のような質問を学生たちに投げかけていました：
- 「シカゴにはピアノ調律師が何人いるだろうか？」
- 「地球上に砂粒はどのくらいあるだろうか？」
- 「大気中の分子は何個ぐらいあるだろうか？」
このように、正確な答えが簡単には得られない質問に対し、知識と論理的推論を積み重ねることで、おおよその数字を算出する手法が、彼の名を冠して「フェルミ推定（Fermi estimation）」として知られるようになりました。
「フェルミ推定」という用語が具体的にいつから使われ始めたかについては、明確な記録はありません。しかし、エンリコ・フェルミが自身の講義で行った推定方法が基となり、彼の名を冠して「フェルミ推定」と呼ばれるようになりました。 この手法は、1980年代から1990年代にかけて、アメリカの企業が採用活動でケーススタディとして取り入れたことで広まりました。 日本では、2007年に細谷功氏が著書『地頭力を鍛える 問題解決に活かす「フェルミ推定」』を出版したことで、「フェルミ推定」という言葉が広く知られるようになりました。
したがって、「フェルミ推定」という用語は、1980年代から1990年代にかけてアメリカで広まり、2000年代後半に日本でも一般的に使われ始めたと考えられます。
フェルミ球・フェルミ面とフェルミ推定の関連性
- フェルミ球・フェルミ面
⇒ 量子力学・固体物理学における電子状態の理論的な概念。 - フェルミ推定
⇒ 科学的思考やロジカルシンキングにおける、数値をざっくり見積もる手法。
どちらもエンリコ・フェルミが由来ですが、直接的に物理現象を記述する概念（フェルミ球、フェルミ面）と、科学的推論の方法論（フェルミ推定）はそれぞれ独立しており、異なる分野に使われています。