Solid Mechanics｜弾性理論
「弾性理論（solid mechanics, elasticity theory）」は、固体が外力や変位を受けたときに、どのように変形し、内部応力を発生させ、また元に戻ろうとするか（＝弾性応答）を解析する理論です
🧱 弾性理論とは？
📌 定義：
「外力に対して形が変わるが、力が除かれれば元の形に戻る」性質（＝弾性）を持つ物体の力学を扱う理論体系。
📘 応用分野：
- 建築・土木（橋、ビルの設計）
- 航空宇宙（翼やフレームの応力解析）
- 材料工学（応力-ひずみ関係）
- 医用工学（骨や人工関節の応力分布）
🧭 歴史的背景
| 時代 | 発展 | 主な人物 |
|---|---|---|
| 17世紀 | 弾性体の初期研究（フックの法則） | ロバート・フック |
| 18〜19世紀 | 応力・ひずみの理論化 | オイラー、ナビエ、コーシー |
| 19〜20世紀 | エネルギー原理の導入 | ラグランジュ、カスティリアーノ、ケルビン |
| 20世紀 | 数値解析技術（FEM）の確立 | ゼィエンキービッチ他 |
🧮 弾性理論の数理的構成
1. 変位（Displacement）
物体の各点がどれだけ動いたか。
ベクトル場で記述される
2. ひずみ（Strain）
変位の「勾配」に対応。
線形弾性では小ひずみ理論がよく使われ、以下のように定義されます：
3. 応力（Stress）
内部の力の分布を表すテンソル
σij\sigma
例：単位面積あたりの力。
4. 構成方程式（Constitutive Law）
材料固有の法則。最も有名なのは：
\[\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl} ]\]フックの法則（線形弾性）
ここで Cijkl は剛性テンソルで、材料特性（等方性・異方性など）を反映。
5. 運動方程式（平衡条件）
静力学では：
\[\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0\]（fiは体積力。重力など）
🔻 最小ポテンシャルエネルギーの原理との関係
弾性体に外力が加わったとき、その内部エネルギー（ひずみエネルギー）と外力の仕事の和が最小になるように物体は変形します：
δΠ=δ(U−W)=0
- U：ひずみエネルギー
- W：外力による仕事
- Π\Pi：ポテンシャルエネルギー関数
この変分原理を使って、**有限要素法（FEM）**で数値的に変形や応力を解析します。
🧠 よく出てくる名前・法則
| 名称 | 内容 |
|---|---|
| フックの法則 | 応力 ∝ ひずみ（線形の比例関係） |
| コーシーの応力テンソル | 任意の面に作用する応力の記述方法 |
| カスティリアーノの定理 | エネルギーの偏微分で変位を得る方法 |
| セント・ヴナンの原理 | 応力の局所化の理論 |
| ラメ定数 | 等方性材料の構成式に出る2つの定数（λ, μ） |
🧩 弾性理論の現代的応用
- ✅ トポロジカル最適化（材料の分布を最適化）
- ✅ ナノスケール（CNTやグラフェンの弾性）
- ✅ 生体材料のモデリング（骨・軟組織）
📌 まとめ：弾性理論の意義
弾性理論は、固体の変形と力のつり合いをエネルギー論的に解析できる枠組みであり、最小ポテンシャルエネルギーの原理と密接に結びついています。
現代の建設・製造・医療などあらゆる分野で不可欠な理論体系です。