Principle of Minimum Potential Energy｜最小ポテンシャルエネルギーの原理
「Principle of Minimum Potential Energy（最小ポテンシャルエネルギーの原理）」は、物理学、特に解析力学や**弾性理論（solid mechanics）**において極めて重要な原理の一つです。この原理は以下のような歴史的背景と発展過程を経て確立されてきました。
🧭 歴史的背景と成立過程
⚙️ 1. 古典力学の誕生（17〜18世紀）
- **アイザック・ニュートン（1643–1727）**によって運動の法則（ニュートンの三法則）が確立。
- この頃は力（フォース）を用いた記述が中心で、エネルギーを使った変分原理はまだ未発達。
🧠 2. 変分原理の登場（18世紀後半）
- モーペルチュイ（Maupertuis）、オイラー（Euler）、**ラグランジュ（Lagrange）**らが登場。
- 「最小作用の原理（Principle of Least Action）」が登場し、力ではなくエネルギーと変分による力学の記述が可能に。
- 系の軌道は「ある作用（Action）」を最小化するように決まるという考え。
📝 この流れが「最小ポテンシャルエネルギーの原理」の変分的アプローチの基盤になります。
🪵 3. 弾性力学での応用（19世紀）
- **弾性体（Elastic Body）**の力学において、外力が作用したときの変形状態を求めるために、この原理が応用された。
- 特に：
- サミュエル・テート（Tait）
- ジェームズ・クラーク・マクスウェル（Maxwell）
- ウィリアム・トムソン（Lord Kelvin）
らがこのエネルギー原理を応用し、構造力学や電磁気学の発展に貢献。
📐 4. 最小ポテンシャルエネルギーの原理の定式化（19〜20世紀）
- 材料力学や構造力学において「ある構造が安定である＝ポテンシャルエネルギーが最小である」という視点が確立。
- この原理は以下のように定式化される：
「力の平衡状態にある弾性体の変形は、全ポテンシャルエネルギーを最小にするような変位場である」
つまり、外力による仕事と内部エネルギー（ひずみエネルギー）の総和が最小になるように系は変形する。
🧮 5. 有限要素法（FEM）への応用（20世紀後半）
- この原理は数値計算（有限要素法、境界要素法）の理論的基盤になった。
- 変位を変分問題として捉えることで、大規模な工学的構造の解析が可能に。
🎓 関連する他の原理
| 名称 | 概要 | 関連性 |
|---|---|---|
| 最小作用の原理 | ラグランジアン（T – V）の時間積分を最小にする | より一般的な運動法則の基礎 |
| ダランベールの原理 | 動的な力の平衡を扱う変分原理 | 静的な最小ポテンシャル原理と補完関係 |
| カスティリアーノの定理 | 弾性体の変形とエネルギー関数の関係を記述 | 最小化の数学的道具 |
🧭 まとめ：なぜ重要か？
- この原理は、力のつり合いという直観的な考え方を、エネルギーの最小化という抽象的かつ計算可能な形に置き換えることで、解析・設計・シミュレーションの道具として汎用的に使えるようにした点で非常に重要です。