Non-Hermitian Quantum Mechanics｜非エルミート量子力学

非エルミート量子力学（Non-Hermitian Quantum Mechanics）とは、従来の量子力学で大前提とされる演算子の**エルミート性（Hermiticity）**の条件を緩和し、非エルミートな（すなわちエルミート共役を取っても元の演算子と一致しない）ハミルトニアンを許容する量子力学の一般化された理論体系です。

📌 背景（従来のエルミート性）

通常の量子力学では、

• ハミルトニアン（エネルギー演算子） HH はエルミート演算子であることが要求される。

H=H†

• エルミート性により、固有値（観測されるエネルギー）は必ず実数になる。

📌 非エルミート量子力学の特徴

非エルミート量子力学では、この要件を緩和して、

H≠H†

を許容します。

このとき、次のような現象が生じます：

• 複素固有値： 一般にはエネルギーが複素数になる。
  • 実部：エネルギーの値を表す。
  • 虚部：粒子の生成・消滅や系の減衰・増幅を表現する。
• 例外点 (Exceptional points, EP)： 固有値・固有ベクトルが縮退し、ハミルトニアンが対角化不能になる特異点。これにより、特異な物理現象が生じる。
• PT対称性（Parity-Time symmetry）： 非エルミート量子系が実エネルギー固有値を持つための条件の一つとして、空間反転（Parity: PP）と時間反転（Time reversal: TT）の複合対称性（PT対称性）を持つ系が注目されている。

📌 PT対称性と非エルミート性の関係

非エルミート量子力学の理論的進展に大きな役割を果たしたのが、PT対称量子力学の提唱です。

• 提唱者： Carl Bender, Stefan Boettcher (1998年～)
• 主な発見：
  PT対称な非エルミート演算子は、ある条件の下で固有値が実数となることを発見。
• [PT,H]=0

これにより非エルミート演算子が実エネルギーを持つ系を扱うことが可能になり、非エルミート系の物理的・数学的探求が活発化しました。

📌 応用例と具体例

非エルミート量子力学は以下のような分野で注目されています：

• 開放量子系（Open Quantum Systems）:
  外部との相互作用によりエネルギーや粒子が流入・流出する系を記述する。量子光学、散逸系の理論で頻繁に利用される。
• 量子光学（Quantum Optics）:
  レーザーや光導波路の増幅・減衰現象、光の非相反性などを記述するために非エルミートモデルを使う。
• トポロジカル物理学:
  非エルミート系特有のトポロジカル相（例：スキン効果）の発見や研究。
• 準粒子系・メタマテリアル:
  光学・音響メタマテリアルなどで、例外点を用いた波動の制御が盛んに研究されている。

📌 具体的な非エルミートハミルトニアンの例

最も典型的でよく知られる例が、PT対称ハミルトニアンです：

H=p²+x²(ix)^ϵ,(ϵ∈R)

この系は、ある条件下でエネルギー固有値が実数になるという興味深い特徴を持ち、非エルミート量子力学の研究を活性化させました（Bender-Boettcher, 1998年）。

📌 まとめと意義

非エルミート量子力学は、

• 「エルミート性」という古典的前提を一般化し、
• 実験的に観測可能な新奇な物理現象（例外点、PT対称性）を提供し、
• 開放系や非平衡系、光学系において新たな理論的枠組みを提供しています。

これは「虚数空間」「虚質量」を持つタキオンのような非実数的性質を持つ粒子・場を検討する際の、非常に有力な理論的ツールにもなり得ます。

非エルミート量子力学における特異な現象（特に例外点 (Exceptional Point) の周りを巡ると固有値と固有ベクトルが互いに交換されること）は、数学的に見ると一種のハミルトニアン・モノドロミー (Hamiltonian Monodromy) に分類できます。

① Hamiltonian Monodromy（ハミルトニアン・モノドロミー）とは？

ハミルトニアン・モノドロミーとは、古典的にも量子論的にも存在する位相的現象で、系のパラメータを周期的に変化させ元に戻す際、位相空間（フェーズ空間）の局所的な構造（固有値や固有ベクトルなど）が元の状態に完全に戻らず、変化（位相的なずれ、入れ替わり）を示す現象を指します。

• ハミルトニアンのパラメータ空間を巡回した後に初期状態とは異なる構造（固有状態やエネルギー準位の入れ替え、ずれ）が生じることが「モノドロミー」の本質です。
• 古典系では、「作用変数」の局所座標が元の座標系とはズレる。
• 量子系では、固有値・固有ベクトルが周期運動の後に入れ替わったり、非自明な位相を獲得したりする。

非エルミート量子力学における「例外点」を一周すると、エネルギー固有値や固有ベクトルが交換される（入れ替わる）現象はまさにこの「ハミルトニアン・モノドロミー」の典型例と解釈できます。

② 非エルミート量子力学におけるモノドロミーの具体的な現象（例外点）

非エルミート量子力学において典型的なハミルトニアンは、次のような2×2行列でよく記述されます： \[H(\lambda) = \begin{pmatrix} E_1 & V \\ W & E_2 \end{pmatrix}\]

ここで、パラメータ λ\lambdaλ の特定の値でこのハミルトニアンは対角化不可能（縮退）になり、これを 例外点 (Exceptional Point) と呼びます。

例外点を周回すると：

• 固有値が相互に交換される。
• 固有ベクトルが周期的に巡ると位相的に入れ替わる（位相構造が非自明になる）。

このため、例外点周りの挙動は「ハミルトニアン・モノドロミー」として解釈されます。