Mathematical Notation｜数学的記法 – TANAAKK

Mathematical Notation｜数学的記法

by TANAAKK
in NEWS
on 2025-03-30

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Mathematical notation（数学的記法）は、数式や論理を明確かつ簡潔に表現するための一連のルールや慣習です。以下にその主な規則やルールをカテゴリ別に紹介します。

1. 文字・記号の使い方

種類	慣例的な記号の使い方
スカラー	通常小文字：`x`, `y`, `a`
ベクトル	太字小文字：v, x あるいは `\vec{x}`
行列	太字大文字：A, M あるいは `\mathbf{A}`
関数	小文字：`f(x)`, `g(x)`
定数	ギリシャ文字や小文字：`π`, `e`, `c`
集合	大文字：`A`, `B`, `ℝ`, `ℕ` など
論理変数	`P`, `Q`, `¬P`, `P ∧ Q`, `P ⇒ Q`

2. 演算子とその順序

演算	記号	優先順位
括弧	`( )`, `[ ]`	最優先
指数	`a^b`	高
乗除	`×`, `÷`, `·`	中
加減	`+`, `-`	低

※ a + b × c は通常 a + (b × c) と解釈されます。

3. 集合に関する記法

表現	意味
`∈`	要素である
`⊂`, `⊆`	部分集合
`∩`, `∪`	共通部分、和集合
`∅`	空集合
`{x ∈ ℝ	x > 0}`

4. 論理記号

記号	意味
`⇒`	含意（if…then）
`⇔`	同値（if and only if）
`¬`	否定
`∧`	論理積（and）
`∨`	論理和（or）
`∀`	任意の
`∃`	存在する

5. 関数と極限・微積分

記法	意味
`f(x)`	関数f
`lim_{x→a} f(x)`	極限
`∫ f(x) dx`	不定積分
`∂f/∂x`, `df/dx`	偏微分、常微分
`∇f`	勾配

6. 確率・統計

記法	意味
`P(A)`	事象Aの確率
`E[X]`	期待値
`Var(X)`	分散
`σ`, `μ`	標準偏差、平均
`X ~ N(μ, σ²)`	正規分布

7. 数の集合

記号	意味
`ℕ`	自然数
`ℤ`	整数
`ℚ`	有理数
`ℝ`	実数
`ℂ`	複素数

線形代数、トポロジー、解析、論理学、物理数学などに特化した記法の規則

1. 論理学（Mathematical Logic）

記号	意味	備考
`¬P`	否定	not P
`P ∧ Q`	論理積（かつ）	and
`P ∨ Q`	論理和（または）	or
`P ⇒ Q`	含意（ならば）	if P then Q
`P ⇔ Q`	同値	if and only if
`∀x`	任意のxについて	for all x
`∃x`	xが存在する	there exists x
`⊢`, `⊨`	推論・意味論的含意	⊢：証明可能、⊨：意味論的に正しい

2. 代数（Algebra）

記号	意味	備考
`a + b`, `ab`, `a · b`	加法・乗法	文脈によって記法を選ぶ
`a^n`	冪乗
`x ∈ R`	xは環Rの元
`x ∈ F[x]`	多項式環の元
`≅`	構造的同型	準同型ではない
`id`, `ker`, `im`	恒等写像、核、像	homomorphismに関連

3. 幾何（Geometry）

記号	意味	備考
`△ABC`	三角形ABC
`∠ABC`	角ABC
`		`,` ⊥`
`≅`, `∼`	合同、相似
`	AB	`
`(x, y)`	座標点

4. 解析（Analysis）

記号	意味	備考
`lim_{x→a} f(x)`	極限
`∫_a^b f(x)dx`	定積分
`f'(x)`	微分
`∂f/∂x`	偏微分	多変数関数
`ε-δ`	極限の定義
`sup`, `inf`	上限、下限
`‖f‖`	関数のノルム（L^pなど）

5. 数論（Number Theory）

記号	意味	備考
`a ≡ b (mod n)`	合同式	nで割った余りが同じ
`ℕ`, `ℤ`, `ℚ`, `ℝ`, `ℂ`	各種数の集合
`gcd(a, b)`	最大公約数
`lcm(a, b)`	最小公倍数
`φ(n)`	オイラーのトーシェント関数
`p	n`	pはnを割り切る
`π(x)`	x以下の素数の個数	素数分布関数

6. 群論（Group Theory）

記号	意味	備考
`G`, `H`	群	通常大文字で表す
`e`	単位元	`G`の中で `g·e = g`
`g⁻¹`	逆元
`	G	`
`G × H`	直積群
`gHg⁻¹`	共役	正規部分群の定義などに使う
`Hom(G, H)`	群準同型の集合
`Aut(G)`	自同型群	`Hom(G, G)` かつ同型

7. 圏論（Category Theory）

記号	意味	備考
`C`, `D`	圏の名前	通常大文字
`Ob(C)`	圏Cの対象の集合
`Hom(A, B)`	射（モルフィズム）の集合	AからBへの射
`id_A`	対象A上の恒等射
`f ∘ g`	合成	fのあとにgを適用（右から左）
`F : C → D`	関手	圏Cから圏Dへの関手
`Nat(F, G)`	自然変換	関手FとGの間の変換
`≅`	圏同値・対象の同型

よく使われるギリシャ文字一覧と用法

ギリシャ文字	読み	一般用途・意味	よく使われる分野
`δ`（小文字）	デルタ	微小量（例：`δx`）、変化量、クロネッカーのデルタ	解析、物理、数論
`Δ`（大文字）	デルタ	差分、判別式（`Δ = b² - 4ac`）、ラプラス演算子	解析、線形代数
`θ`	シータ	角度、パラメータ（統計の母数など）、ステップ関数	幾何、解析、統計
`φ` / `ϕ`	ファイ	角度、写像、オイラーのトーシェント関数 `φ(n)`	幾何、解析、数論
`ε`	イプシロン	任意の小さい正の数（極限定義：`∀ε > 0 ...`）	解析、論理
`α, β, γ`	アルファ、ベータ、ガンマ	パラメータ、係数、関数などの識別子	全般
`λ`	ラムダ	固有値、波長、関数のラベル（ラムダ計算）	線形代数、論理、物理
`μ`	ミュー	平均、測度、母平均、化学のμ（ミクロ）	統計、測度論
`σ`	シグマ	標準偏差、シグマ代数、和の記号 `∑` の対応	統計、確率、集合論
`π`	パイ	円周率、積記号 `∏` の対応、射影（projective）	幾何、解析、圏論
`τ`	タウ	時間定数、トポロジーでの作用	幾何、物理、トポロジー
`ω`	オメガ	無限（最小無限順序）、角速度、測度	数論、集合論、測度論
`Ω`	オメガ	全体集合、無限大、空間全体	集合論、数論、物理

読み方・記号例まとめ

記号	読み	LaTeX	例
`δ`	デルタ	`\delta`	`\delta x`, `\delta_{ij}`
`Δ`	デルタ	`\Delta`	`\Delta f = f(x+h) - f(x)`
`θ`	シータ	`\theta`	`\theta = 30^\circ`
`φ`	ファイ	`\phi`	`\phi : X \to Y`
`ε`	イプシロン	`\epsilon`	`\forall \epsilon > 0`
`λ`	ラムダ	`\lambda`	`\lambda I - A`
`π`	パイ	`\pi`	`\pi \approx 3.14`
`ω`	オメガ	`\omega`	`\omega = 2\pi f`

補足：同じ記号でも分野により意味が変わる

θ：幾何では角度、統計ではパラメータ、機械学習では重み
φ：数論ではオイラー関数、圏論では射、幾何では角度
Δ：代数では判別式、解析では差分、物理ではラプラシアン