ヴァイユ予想｜Weil conjectures – TANAAKK

ヴァイユ予想｜Weil conjectures

by TANAAKK
in Algebraic Geometry, Arithmetic Geometry
on 2025-03-27

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ヴァイユ予想（Weil conjectures）は、数論幾何（Arithmetic Geometry特に有限体上の代数多様体）の研究における重要な予想群で、アンドレ・ヴァイユ（André Weil）によって1949年に提出されました。これらの予想は、有限体上の代数多様体に関する「局所ゼータ関数」の性質を予想するもので、後に20世紀後半の数学（特にエタール・コホモロジーや代数幾何、トポロジー、表現論など）の発展に決定的な影響を与えました。

🔷 ヴァイユ予想の背景と定式化

ゼータ関数は文脈によって多くの種類がありますが、一般に「数列や空間の構造を解析的にエンコードする関数」です。ここでは、いくつか代表的なゼータ関数の定義を整理しつつ、特に「代数幾何におけるヴァイユのゼータ関数」の定義に焦点を当てて解説します。

🔷 1. 一般的なゼータ関数の例

✅ リーマンゼータ関数（解析数論の古典的定義）

\[\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \quad \text{（Re}(s) > 1)\]

また、素数を使ったオイラー積表示もあります：

\[ \zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \left(1 – \frac{1}{p^s}\right)^{-1}\]

🔸 ゼータ関数の定義

有限体 Fq 上の代数多様体 X に対して、各 N について Fqⁿ 上の点の数を N_n = Xとし、

\[Z(X, t) = \exp\left( \sum_{n=1}^\infty \frac{N_n}{n} t^n \right)\]

という形式的べき級数で定義される関数が「ヴァイユのゼータ関数」です。

🔷 ヴァイユ予想

ヴァイユはこのゼータ関数に以下の性質を予想しました（当時はまだ証明されていなかった）：

（有理性） Z(X, t)は有理関数、すなわち

\[Z(X, t) = \frac{P_1(t) \cdots P_{2d-1}(t)}{P_0(t) \cdots P_{2d}(t)}\]

の形に書ける。ただし P_i(t) は整数係数の多項式。

（ファンクター的性質） ヴァイユのゼータ関数は、位相的なエタール・コホモロジー群 Hⁱ を用いて表現される（後に証明された結果）。
（類似リーマン予想） 各 $P_i(t)$ の根は、絶対値 $q^{-i/2}$ を持つ複素数である。
（べき変換不変性／ポアンカレ双対性） 対応するゼータ関数は、次元に応じた関係式 Z(X,q−dt−1)=±qdχ/2tχZ(X,t)Z(X, q^{-d}t^{-1}) = \pm q^{d\chi/2} t^{\chi} Z(X, t) を満たす。ただし $d$ は次元、$\chi$ はオイラー数。

🔷 解法の流れ（歴史的経緯）

年代	解決された予想	貢献者
1954	有理性	Dwork（ドヴォーク）
1960s	コホモロジーによる解釈	グロタンディーク（エタール・コホモロジーを導入）
1974	リーマン予想型の主張（最後）	ドリーニュ（Pierre Deligne）

🔷 解法の概要

🔸 ステップ1：Dworkによる有理性の証明（p進解析）

p進解析（Dwork cohomology）を使って、ゼータ関数が形式的な指数関数として始まるにも関わらず、有理関数であることを証明。
この時点で予想1は証明された。

🔸 ステップ2：グロタンディークによるコホモロジー理論の構築

ヴァイユの予想を幾何的かつホモロジー論的に扱うため、エタール・コホモロジーという新たな理論を構築。
ゼータ関数がエタール・コホモロジー群 $H^i_{\text{ét}}$ のトレースとフロベニウス作用素により表現されることを示した。

🔸 ステップ3：ドリーニュによるリーマン予想の証明（1974）

最も難しかった「類似リーマン予想」部分を証明。
エタール・コホモロジーの中でフロベニウス作用素の固有値が、予想された絶対値を持つことを示した。
複雑な導来圏、ウェイトの理論、スキームの変形を駆使。

🔷 ヴァイユ予想の意義

ヴァイユ予想の解決によって、数論と代数幾何の深い統一が実現された。
グロタンディーク、ドリーニュなどによる技術の発展は、その後の「ラングランズ計画」や「モチーフの理論」にも直結。
ドリーニュはこの功績で1988年にフィールズ賞を受賞。

🔷 まとめ：ヴァイユ予想とその解法（図）

有限体上の代数多様体 X
   ↓
点の個数 N_n によるゼータ関数 Z(X, t) の定義
   ↓
[ヴァイユの予想群]
① 有理性（Dwork）
② コホモロジーでの表現（Grothendieck）
③ フロベニウスの固有値の絶対値（Deligne）
④ ポアンカレ双対性・対称性（全体を通して成立）

最終解決：1974年（Deligne）

**Arithmetic Geometry（算術幾何）とAlgebraic Geometry（代数幾何）**は密接に関連していますが、焦点や目的が異なる分野です。

🔷 Algebraic Geometry（代数幾何）

✅ 主な関心

代数方程式の幾何的な解の構造を研究する分野
基本的には 代数閉体（例：複素数体 $\mathbb{C}$）の上での研究

✅ 研究対象

スキーム（一般化された多様体）
多様体（代数的曲線、曲面、3次元体など）
特異点、因子、層、コホモロジーなど

✅ 例

$\mathbb{C}$ 上の楕円曲線 $y^2 = x^3 + ax + b$
射影空間上の代数曲線の分類
グロタンディークのスキーム理論

✅ 目的

幾何的性質（次元、滑らかさ、特異点、モジュライ空間など）の理解
一般の体上での多様体の構造理論

🔷 Arithmetic Geometry（算術幾何）

✅ 主な関心

整数や数体上の代数方程式の解を研究する
つまり、代数幾何の技術を使って「数論的対象」を扱う

✅ 研究対象

有限体 $\mathbb{F}_q$ や整数環 $\mathbb{Z}$ の上のスキーム
数体の整数環上で定義された代数多様体
ガロア表現、エタール・コホモロジー、モチーフ

✅ 例

有限体上の楕円曲線の点の個数（ヴァイユ予想）
$\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線の有理点（モーデル予想、BSD予想）
Fermat方程式の整数解（ワイルズの定理）

✅ 目的

代数方程式の整数解・有理数解の分布・存在を理解
ガロア群・L関数・保型形式との対応関係を明らかにする（ラングランズ計画など）

🔸 対比まとめ

項目	Algebraic Geometry	Arithmetic Geometry
目的	幾何的構造の理解	数論的構造の理解
基礎体	主に $\mathbb{C}$ や代数閉体	$\mathbb{Q}, \mathbb{Z}, \mathbb{F}_p$ など
対象	多様体、層、特異点など	整数解、有理点、L関数、ガロア表現
例	多様体の分類、モジュライ空間	BSD予想、フェルマーの最終定理、ヴァイユ予想
手法	層論、導来圏、スキーム論など	上記＋ガロア理論、p進解析、保型形式など

🔸 つながり（補足）

Arithmetic Geometry ⊂ Algebraic Geometry の応用分野の1つ
グロタンディークやドリーニュ、ファルティングス、ワイルズは、代数幾何の手法を用いて数論の難問を解決しました。
特に「スキーム理論・エタールコホモロジー・モチーフ」は、両分野をつなぐ架け橋です。

現代の算術幾何における主要トピック（例：p進Hodge理論、モチーフ理論、ラングランズ）」