Hamiltonian｜虚数空間の導入による生命の螺旋構造の記述
「ハミルトニアン（Hamiltonian）」という用語は、ここでの四元数の提唱者であるウィリアム・ローワン・ハミルトン（William Rowan Hamilton、1805–1865） に由来します。
「ハミルトニアン」と「四元数を提唱したハミルトン」は 同一人物 です。
以下に、それぞれの人物・公式・表記について整理した表を示します。
| 項目 | オイラー (Leonhard Euler) | ハミルトン (William Rowan Hamilton) | ピタゴラス (Pythagoras) |
|---|---|---|---|
| 生年–没年 | 1707年4月15日 – 1783年9月18日 | 1805年8月4日 – 1865年9月2日 | 紀元前570年頃 – 紀元前495年頃 |
| 生まれた場所 | スイス、バーゼル | アイルランド、ダブリン | 古代ギリシャ（サモス島） |
| 主な公式・定理の発表年 | オイラーの公式：1748年（著書『無限解析入門』） | 四元数の公式：1843年10月16日 | ピタゴラスの定理：紀元前530年頃（伝承） |
| 発表した場所（都市） | サンクトペテルブルク（ロシア） （オイラーの主要著作地） | ダブリン（アイルランド） ※ブルーム橋（Broom Bridge）にて発見 | クロトン（現イタリア南部） |
■ 各人物・公式の補足
① オイラー (Euler)
- 公式：eix=cosx+isinx
- 背景：1748年、著書『Introductio in analysin infinitorum（無限解析入門）』において、三角関数と指数関数の関連性を明らかにしました。
② ハミルトン (Hamilton)
- 公式（四元数指数）：
- \[e^{a + bi + cj + dk} = e^{a}\left(\cos\sqrt{b^2 + c^2 + d^2} + \frac{bi + cj + dk}{\sqrt{b^2 + c^2 + d^2}}\sin\sqrt{b^2 + c^2 + d^2}\right)\]
- 背景：1843年10月16日、ダブリンのブルーム橋を歩いている際に突如着想を得て、橋にこの式を刻みました。
③ ピタゴラス (Pythagoras)
- 公式：a2+b2=c2（直角三角形の定理）
- 背景：紀元前530年頃、南イタリアの都市国家クロトンに設立したピタゴラス学派で数学的な知識としてまとめられたとされています。
- オイラー（平面的回転） → **ハミルトン（空間的回転・らせん構造）**への数学的発展
- ピタゴラスの定理（距離のノルム表現）との結びつき
■ 詳細な背景説明：
- ハミルトニアン（Hamiltonian） は、物理学（特に力学・量子力学）で使われるエネルギーを表す関数であり、その概念を初めて定式化したのは同じウィリアム・ローワン・ハミルトンです。
- ハミルトンは、力学において位置や運動量を使って系の全エネルギーを表す方法を開発しました。この方法論が「ハミルトニアン力学」として知られ、そのエネルギー関数が「ハミルトニアン」と名付けられました。
- さらにハミルトンは、数学の分野では「四元数（Quaternion）」を発明し、数学的に非常に重要な貢献をしました。四元数は、のちに空間回転、量子物理学、コンピュータグラフィックスにおいて広く応用されています。