Wick Rotation｜ウィック回転
**ウィック回転（Wick Rotation）**とは、物理学（特に場の量子論や統計力学）において用いられる数学的なテクニックで、簡単に言えば「実時間と虚時間を入れ替える操作」です。
① 定義と本質
ウィック回転とは、実時間 t を純虚数時間 τ\tau に変換することを指します： t→τ=it
ここで、i は虚数単位（i2=−1）です。
- 実時間（Real time）
通常の物理現象で用いる、私たちが体感する通常の時間。 - 虚時間（Imaginary time）
実時間に虚数単位 ii を掛けたもの。直接体感・観測可能な物理量ではなく、数学的・理論的な解析に用いる概念です。
② ウィック回転をする目的
ウィック回転は、「問題を解きやすくする」ことを主目的に行われます。
- 場の量子論や量子力学の「時間発展」を表す式（経路積分など）は、実時間で扱うと非常に複雑（発散したり、積分が収束しない）になる場合があります。
- そこで、ウィック回転で虚時間に変換すると、数学的に非常に簡単になります。
- 虚時間にした後の積分は、発散が抑えられて収束しやすくなり、計算可能になります。
③ 使用される分野と代表的な例
場の量子論（Quantum Field Theory）
- 量子場理論における経路積分（Path Integral）を虚時間に置き換えることで、計算が収束し、明確な数値的・解析的結果が得られる。
- 虚時間を用いた理論を ユークリッド場の理論（Euclidean Quantum Field Theory） と呼びます。
統計力学（Statistical Mechanics）
- 虚時間での量子場理論は統計力学と直接的に関係します。
- 虚時間を逆温度（τ∼1/kT\tau \sim 1/kT）として再解釈すると、量子論と統計力学の橋渡しが可能になります。
ブラックホール物理学（Black Hole Physics）
- ブラックホールの熱力学を考える際、ホーキング放射の導出に虚時間が使われます。
- 虚時間でブラックホールの解を考えることで、ブラックホールのエントロピーや温度が自然に導出されます。
④ 名前の由来
- ジャン・カルロ・ウィック（Gian-Carlo Wick, 1909–1992）
にちなんで名付けられています。彼は1954年にこの方法を初めて明示的に提唱しました。
⑤ 物理的な意味と直観的イメージ
- 虚時間は観測できる物理的な時間ではなく、数学的道具として用いられます。
- 実時間における時間発展（oscillation、振動）が虚時間では指数関数的な収束（減衰）に変わり、数値計算・理論解析が格段に容易になります。
まとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 英語 | Wick Rotation |
| 提唱者 | Gian-Carlo Wick (1954年頃) |
| 定義 | 実時間 tt を虚時間 τ=it\tau = i t に変換 |
| 目的 | 計算の簡略化、積分の収束 |
| 主な応用分野 | 場の量子論、統計力学、ブラックホール熱力学 |
結論
ウィック回転は、「実時間の物理」を数学的に扱いやすい「虚時間の物理」に変換する、強力で本質的な物理・数学的手法です。
虚数時間方向にウィック回転（Wick rotation）する目的は、主に物理理論において解析を容易にし、数学的な取り扱いを明快にすることにあります。具体的には以下のような目的があります：
1. ミンコフスキー空間（物理的時空）からユークリッド空間への移行
- 時間変数を実時間（real time）から虚時間（imaginary time）へと変換することで、ミンコフスキー時空（符号：(-,+,+,+)）からユークリッド時空（符号：(+, +, +, +)）へと移行します。
- これにより、時間次元を空間次元と同様に扱えるため、数学的な対称性が高まり、計算が簡単になります。
2. 振動的な積分（Oscillatory integral）を収束性の良い指数関数積分へ変換
- 量子力学や量子場理論において、元々の経路積分（path integral）は複雑で振動的（oscillatory）であり、収束性に乏しく扱いづらい性質を持ちます。
- ウィック回転によって、積分の位相因子（$e^{iS}$）を指数減衰因子（$e^{-S_E}$）に変換でき、収束性が向上します。ここで、$S$は作用、$S_E$はユークリッド作用です。
3. 統計力学と量子力学の対応の明確化
- 虚時間方向のウィック回転を導入することにより、量子論における時間発展作用素（$e^{-iHt}$）が統計力学における分配関数（$e^{-\beta H}$）に対応する構造となります。
- この対応関係を通じて、有限温度場の理論（finite-temperature field theory）を解析しやすくなります。
4. 数値計算・非摂動解析を容易にするため
- 非摂動論的な数値解析（例：格子QCD）などのシミュレーションにおいても、ウィック回転をすることで実時間における不安定な計算を回避し、安定で収束しやすいユークリッド時空上でのシミュレーションを行えます。