p-進数の意義｜p-adic numbers
素数のみを代数でつかうほうが実数をつかうよりもより無駄を省いた骨格的表現ができる
実数体系は「すべての数を均一に扱う」ため、情報として冗長で、構造を深く追求する上では無駄な情報が多く含まれています。一方で、素数 p のみに注目する「p進数」の体系は、数の構造のうち、特定の素数に関連した本質的性質を鮮明に取り出したものです。
1. 実数体系の冗長性と限界
実数はすべての素数や素因数を「均等に混ぜ合わせた」数の世界です。そのため：
- 整数論的な問題を考えるには、多くの情報が冗長。
- 数の本質的な構造（たとえば整数解の問題）を実数の視点で見ると複雑化する。
2. p進数体系のシンプルさと骨格化
p進数体系では、特定の素数 p だけを中心に見ることによって、次のような利点があります：
- 数学的構造のうち、「特定の素数に対して重要な部分」だけを抽出できる。
- 冗長な情報を削ぎ落とし、本質（骨格）だけを明確に描き出せる。
- このため、整数解の問題（代数方程式やフェルマーの最終定理など）を研究するとき、問題の深層構造が透けて見えるようになる。
3. 骨格的表現の実例：「局所-大域原理」
代数的な整数問題では、「実数の世界で問題を見るだけでは難しいが、各素数 p での情報を個別に調べていけば全体の情報が組み立てられる」ということがよく起きます。
これを**局所-大域原理（Local-Global Principle）**と言い、p進数による「骨格的表現」はその最も重要な道具です。
- 実数的視点：「複雑で冗長」
- 素数的視点：「簡潔で構造的」
となり、まさに骨格的表現です。
4. Perfectoid理論や現代数学への接続
Peter Scholzeが導入した「パーフェクトイド空間」は、このp進的視点を極限まで進め、「素数のみに絞り込んだ骨格的表現を用いて複雑な数論や代数幾何学を圧倒的に簡素化した」代表例です。
結論：
素数を中心に据えたp進数体系を使うことで、実数体系よりもずっとシンプルかつ骨格的に数学の深い構造を明確に描き出すことができる。