数論と数の種類
実数や虚数以外にも数学的な数の種類があります。
① 実数・虚数（既知の数体系）
- 実数 (Real numbers)：通常の数直線上の数。整数、小数、無理数（π、√2など）を含む。
- 虚数 (Imaginary numbers)：実数の平方根を拡張し、−1\sqrt{-1}を定義した数（i）。
② 複素数 (Complex numbers)
- 形式：a+bia + bi（実数と虚数の組み合わせ）
- 用途：電磁気学、量子力学など物理学全般で使われる。数学でも基礎的で中心的な概念。
③ 四元数 (Quaternions)
- 形式：a+bi+cj+dka + bi + cj + dk（1つの実数単位＋3つの虚数単位）
- 性質：
- 掛け算に交換法則が成り立たない（非可換）。
- 3次元空間での回転を表現するのに最適。
- 用途：CG、3Dゲーム、航空宇宙工学、ロボティクスの姿勢制御。
④ 八元数（Octonions）
- 形式：8個の成分を持つ数体系。
- 性質：
- 四元数よりさらに複雑で、結合法則も成り立たない（非結合的）。
- 特殊な対称性や例外的な数学構造に関連（例外リー群）。
- 用途：理論物理学（特に弦理論）、例外群や特殊な数学理論の研究。
⑤ 十六元数（Sedenions）
- 形式：16個の成分をもつ数体系。
- 性質：
- 結合律も交換律も成り立たず、ゼロ因子（掛けてゼロになる非ゼロの元）も存在。
- 数学的興味はあるが、実用的応用は少ない。
- 用途：抽象代数、数学的探究に主に使われる。
⑥ p進数 (p-adic numbers)
- 形式：素数 primeを使った特殊な数体系。
- 性質：
- 距離や大小関係が特殊（「pで何回割れるか」によって距離が決まる）。
- 整数論、代数幾何学で重要。
- 用途：整数解の問題、数論（特にフェルマーの最終定理の証明）、パーフェクトイド理論。
⑦ 超実数 (Hyperreal numbers)
- 形式：無限大、無限小を含む拡張された実数体系。
- 性質：
- 無限小を明確に定義可能。
- 非標準解析という数学分野で使われる。
- 用途：解析学（微積分の厳密な再構築）、微分方程式の取り扱い。
⑧ 超複素数（Hypercomplex numbers）
- 実数・虚数・四元数・八元数などを総称した「複数の虚数成分を持つ数体系」の総称。
⑨ 分解型複素数（Split-complex numbers）
- 形式：a+bja + bj、ただし j2=+1j^2 = +1 と定義。
- 性質：
- 通常の虚数単位（i2=−1i^2 = -1）とは違い、虚数の平方が正になる。
- 特殊相対論におけるミンコフスキー空間の記述に関連。
- 用途：相対論、幾何学。
⑩ デュアル数（Dual numbers）
- 形式：a+bϵ、ただしϵ2=0。
- 性質：
- 二乗がゼロになる特殊な数を用いる。
- 微分や接線空間を表現するのに便利。
- 用途：自動微分（AIの機械学習で勾配を効率的に計算する手法）に応用。
まとめ（主な数体系の整理）
| 名称 | 次元数 | 性質・用途 |
|---|---|---|
| 実数 | 1 | 通常の数直線上の数 |
| 虚数 | 1 | i2=−1を持つ数 |
| 複素数 | 2 | 実数＋虚数 |
| 四元数 | 4 | 3D回転を記述、非可換 |
| 八元数 | 8 | 例外的な対称性、非結合 |
| 十六元数 | 16 | 非結合的で複雑、主に理論研究 |
| p進数 | ∞ | 数論・代数幾何 |
| 超実数 | ∞ | 無限小を持つ非標準解析 |
| 分解型複素数 | 2 | 相対論、ミンコフスキー空間 |
| デュアル数 | 2 | 微分、接線、AIの自動微分 |
実数と虚数以外にも、数多くの興味深い数体系が数学的・物理的問題をシンプルに解くために存在し、利用されています。