P-adic number theory｜p進数論と現代代数幾何学

p進数論と現代代数幾何学に革命をもたらした数学者 Jean-Marc Fontaine（ジャン＝マルク・フォンテーヌ）

■ 基本情報

● 氏名

Jean-Marc Fontaine（ジャン＝マルク・フォンテーヌ）

■ 生年月日・出生地

• 生年月日：1948年3月28日
• 死亡日：2019年1月29日
• 出生地：フランス・フランシュ＝コンテ地方（正確な都市は不明）

■ 所属・経歴

• フランス国立科学研究センター（CNRS）
• Université Paris-Sud（パリ南大学）
• Institut des Hautes Études Scientifiques（IHÉS）

■ 専門分野

• p進数論
• p進Hodge理論
• エタールコホモロジー
• ガロア表現

■ 主な業績

1. p進Hodge理論の創始

• 実数における「Hodge理論」に相当する理論をp進体に拡張
• 数論的なガロア表現と幾何的コホモロジーを橋渡しする枠組みを構築

2. Fontaine環（Period Rings）

• 数論的オブジェクトを分類・解析するための**特別な環（B_cris, B_dR, B_st など）**を導入
• これらはp進ガロア表現の分類、さらにはラングランズ対応のp進版に不可欠

代表的な環：

• B_cris：結晶性表現（crystalline representations）
• B_dR：de Rham表現
• B_st：半安定表現（semistable representations）

これらにより、次のような比較定理が可能となる：

\[H^i_{\text{ét}}(X_{\overline{\mathbb{Q}}_p}, \mathbb{Q}_p) \otimes_{\mathbb{Q}_p} B_{\mathrm{cris}} \cong H^i_{\text{cris}}(X/B_{\mathrm{cris}})\]

3. p進Galois表現の分類

• Galois表現を「幾何的・解析的」構造で分類し、p進Hodge理論とつなげる
• セミステーブル、結晶性、de Rham型などのクラス分けは、今日のp進Langlandsプログラムに不可欠

■ 数学的証明・定理例

Fontaine’s “weakly admissible = admissible” 定理（Colmez–Fontaine定理）：

弱可積分性（weakly admissible）なフィルトレーション付きφ加群⇒p進Galois表現から来る

この定理は、p進Hodge理論の精緻な分類体系を支える基盤です。

■ 歴史的重要性

• p進数論と代数幾何の統一的枠組みを構築した第一人者
• Riemann–Hilbert対応やHodge理論のp進類似物を確立
• 現在のp進Langlandsプログラム、Perfectoid理論、prismatic cohomologyへと続く流れの礎を築く

■ 残存課題・後継研究

1. Prismatic Cohomology（Bhatt–Scholze）による再定式化
2. 非可換幾何やトポス理論との接続
3. 全ての数論的モチーフに対するp進比較定理の一般化

■ 人柄・逸話

• 控えめで思索的な性格
• スライドや発表資料を使わず、黒板のみで数時間話し続けることが多かった
• 「ガロア表現は見えない鏡のようなもので、代数幾何の“影”を映す」と語ったとされる
• 数学界では「静かな革命家」として尊敬されていた

■ 後世への影響

• Peter Scholze は Fontaine 理論をPerfectoid Spacesの形で大幅に発展
• Laurent Fargues との共同研究では、Fargues–Fontaine曲線が導入され、p進Langlands幾何の基礎に

Fontaine 環の構成手順、Fargues–Fontaine曲線の定義、またはp進Hodge理論とMotivic理論の関係