ブラックホール形成理論および銀河中心における超大質量コンパクト天体の発見｜Formation of Black Holes and the Discovery of a Supermassive Compact Object at the Galactic Center
定理：ブラックホール形成理論および銀河中心における超大質量コンパクト天体の発見（2020年ノーベル物理学賞）
歴史的重要性：
2020年ノーベル物理学賞は、ブラックホールに関する理論的研究および銀河系中心に超大質量ブラックホールが存在することを実験的に証明した観測に対して授与された。ロジャー・ペンローズは一般相対性理論を用いてブラックホール形成の必然性を数学的に証明し、ラインハルト・ゲンツェルとアンドレア・ゲズは銀河系中心にあるいて座A*付近の星の運動観測から、超大質量ブラックホールの存在を実証した。
発表者（2020年ノーベル物理学賞受賞者）：
- ロジャー・ペンローズ（Roger Penrose）
- ラインハルト・ゲンツェル（Reinhard Genzel）
- アンドレア・ゲズ（Andrea Ghez）
生年月日：
- ペンローズ：1931年8月8日
- ゲンツェル：1952年3月24日
- ゲズ：1965年6月16日
出生地：
- ペンローズ：イギリス・コルチェスター
- ゲンツェル：ドイツ・バート・ホンネフ
- ゲズ：アメリカ合衆国・ニューヨーク市
主な業績（論文）：
- ペンローズ：ブラックホール形成理論（特異点定理、1965年）
- ゲンツェルおよびゲズ：銀河系中心の超大質量ブラックホールの観測的証明（1990年代〜2020年）
発表場所（主な所属機関）：
- ペンローズ：オックスフォード大学（イギリス）
- ゲンツェル：マックス・プランク地球外物理学研究所（ドイツ）
- ゲズ：カリフォルニア大学ロサンゼルス校（アメリカ）
受賞：
2020年ノーベル物理学賞
「ブラックホール形成の理論的証明と、銀河系中心の超大質量ブラックホールの発見」
代表的な公式：
【ペンローズの特異点定理に関連する曲率条件（アインシュタイン重力場方程式の証明）】
\[R_{\mu\nu} – \frac{1}{2}R\,g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\]【ゲンツェルとゲズのブラックホール質量推定式（ケプラーの第3法則応用）】
\[M_\bullet = \frac{4\pi^2 a^3}{G\,T^2}\]公式の説明：
- ペンローズの方程式（アインシュタインの重力場方程式）：
- Rμν R_{\mu\nu}：リッチ曲率テンソル
- R：曲率スカラー
- gμν g_{\mu\nu}：時空の計量テンソル
- Tμν T_{\mu\nu}：エネルギー・運動量テンソル
- この方程式を通じて、一般相対論において質量が集中するとブラックホールという特異点が必然的に形成されることを数学的に証明した。
- ゲンツェル・ゲズのブラックホール質量推定式：
- M∙ M_\bullet：ブラックホールの質量
- a：周囲を回る星の軌道長半径
- T：星の軌道周期
- G：万有引力定数
- 星が銀河中心の非常に小さい領域を高速で周回していることから、ケプラーの第3法則を応用して中心天体（ブラックホール）の質量を高精度で求めた。
親交の深かった科学者（関連研究者）：
- ペンローズ：スティーブン・ホーキング（Stephen Hawking、特異点理論での共同研究者）
- ゲンツェル：チャールズ・タウンズ（Charles Townes、銀河中心の観測研究で影響を受けた先駆者）
- ゲズ：マーク・モリス（Mark Morris、銀河中心の研究における共同研究者）
ペンローズが1965年に示した『特異点定理』（Penrose Singularity Theorem）の数学的な証明は、以下のような方法に基づいています。
① 背景（証明の目的）
一般相対性理論によれば、強力な重力場のもとで質量が集中すると、時空が極端に歪み、数学的に「特異点」と呼ばれる領域（曲率が無限大となる場所）が生じる可能性があります。
ペンローズは、この「特異点」の形成が単なる理論的可能性ではなく、一般的に起こる「必然的」な結果であることを数学的に証明しました。
② ペンローズによる証明のポイント
ペンローズの証明は、次の3つの重要な数学的アイデアを用いています。
- 『閉じ込められた曲面』(Trapped surface) の導入
- 『測地線の不完全性』(Geodesic incompleteness) の議論
- 因果律と位相構造（時空の大域構造）の分析
ペンローズはこれらを組み合わせ、以下の条件が成立する場合、時空に特異点が必ず形成されることを証明しました。
- アインシュタインの一般相対性理論（重力場方程式）が正しい。
- エネルギー条件（弱エネルギー条件など）が満たされる（エネルギー密度が負でないなど）。
- 閉じ込められた曲面が存在する。
③ 証明の鍵となる『閉じ込められた曲面』とは？
ペンローズが導入した『閉じ込められた曲面』とは、
「どの方向に光を放っても、光が空間的に外へ逃げ出せず、必ず曲面の内部方向に収束してしまう閉じた曲面」
のことです。
直感的に言えば、極端に強い重力によって、光すら逃げ出せない「閉じ込められた」領域が時空内に存在することを示します。これが特異点形成の重要な条件となります。
④ 測地線の不完全性（Geodesic Incompleteness）
ペンローズは、数学的に時空の特異点を、
- 「測地線が有限のパラメータ範囲で途切れてしまう（incomplete）」
こととして定義しました。
測地線とは、時空内の『直線的な軌道』（光や自由落下粒子が取る経路）を指します。
もし測地線が有限の距離（有限の固有時間）で『突然途切れてしまう』とすれば、時空がそこで「破れている」、つまり『特異点が存在する』ということになります。
⑤ 証明の流れ（概要）
ペンローズの定理の証明は以下のような論理で進められました。
| Step | 説明 | 数学的背景 |
|---|---|---|
| 1 | 閉じ込められた曲面の存在を仮定 | 強重力場の存在（ブラックホール形成の兆候） |
| 2 | 閉じ込められた曲面から未来方向へ伸びる光の経路（null geodesic）がすべて収束することを示す | 微分幾何学と一般相対性理論 |
| 3 | 光経路の収束が続けば、将来的に交差や破綻が必ず起こる（曲率無限大・特異点が現れる）ことを導く | 焦点化定理（Raychaudhuri方程式） |
| 4 | この測地線（光や物質の経路）の有限距離での破綻を証明（測地線の不完全性） | 微分幾何学、因果律 |
結果として、特定の物理条件（現実的条件）のもとで特異点形成が避けられないことが明らかになりました。
⑥ どのような数学的道具を使ったか？
ペンローズは次のような数学を用いて証明を完成させました。
- 一般相対性理論（アインシュタイン方程式）
- 微分幾何学（測地線、曲率テンソル、リーマン幾何学）
- 位相幾何学（時空の大域構造）
- 焦点化定理 (Focusing theorem, Raychaudhuri equation)
つまり、純粋な数学的論理と一般相対性理論を巧みに組み合わせ、ブラックホールの特異点形成を厳密に証明したのです。
⑦ 証明の意義（なぜこれが重要だったか）
ペンローズの証明は、
- ブラックホールが数学的空想ではなく、現実的な物理現象として普遍的に存在することを示した。
- それまで「特異点」は理論的異常として軽視されがちだったが、特異点が物理的に不可避であることを明確に示し、その後のホーキングなどの研究を大きく促進した。
この結果は、一般相対論を使ってブラックホール研究が本格的に始まったきっかけとなりました。
結論：
- ペンローズは『閉じ込められた曲面』『測地線の不完全性』『時空の因果構造の厳密な解析』を用いて、ブラックホールの特異点形成が一般相対論のもとでは避けられないことを、数学的・論理的に証明したのです。
- 新しい公式を作り出したのではなく、「既存の理論に対する新しい数学的視点」を示したことが高く評価され、2020年ノーベル物理学賞を受賞しました。