Navier-Stokes equations｜ナビエ・ストークス方程式

ナビエ・ストークス方程式

生まれた場所
アイルランド・スライゴ（Sligo）郡のスクリーニ（Skreen）
1819年8月13日生まれ。
方程式の発表年・場所
1845年、イギリス・ケンブリッジ（Cambridge）
ケンブリッジ哲学会（Cambridge Philosophical Society）において論文で発表。

ナビエは主に工学的視点から、ストークスは数学的視点から方程式を改良・完成させたため、この方程式は二人の名前が冠されています。

ナビエ・ストークス方程式（Navier-Stokes equations）の詳細を以下の観点で解説します。

ナビエ・ストークス方程式は、液体や気体などの流体の運動を記述する基本方程式です。19世紀にクロード＝ルイ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって定式化されました。

現代では、航空機設計、自動車工学、船舶設計、気象予測、エネルギープラント設計など、広範な分野で応用されている最も重要な方程式の一つです。

ナビエ・ストークス方程式は、一般的に次のようなベクトル形式で表されます。

\[\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{u} + \mathbf{f}\]

ここで：

ナビエ・ストークス方程式は、ニュートンの運動法則を流体に適用したもので、各項は以下の物理的意味を持っています。

左辺：
- ρ*∂_u/∂_t
- 速度の時間変化に伴う流体の加速（∂ Partial　偏微分記号）
- ρ(u⋅∇)u
- 空間的に速度が変化することに伴う流体の対流加速（慣性項）
右辺：
- −∇p：圧力勾配による力（流体を動かす原動力）
- μ∇²u 粘性による抵抗力（流体が滑らかに流れることを妨げる摩擦力）
- f：外部から加わる力（重力、磁場など）

つまり、この方程式は「流体の加速度」が「圧力差、粘性抵抗、外力」によって決まることを示しています。

ナビエ・ストークス方程式は非線形の偏微分方程式であり、次の特徴があります。

非線形性（Non-linearity）
方程式中の (u⋅∇)u は非線形項であり、解析的な解を得るのが非常に難しい主な理由です。多くの場合、数値計算によって近似的に解かれます。
乱流（Turbulence）への対応の難しさ
流体はある条件下で乱流という非常に複雑な運動状態を示しますが、この乱流状態をナビエ・ストークス方程式だけで正確に記述することは困難であり、工学分野では乱流モデルなど近似的手法が使われています。
数学的未解決問題
ナビエ・ストークス方程式が「任意の初期条件・境界条件で常に滑らかな解を持つか？」という問題は「ミレニアム懸賞問題」の一つに指定され、いまだ数学的に証明されていない難問として知られています。

ナビエ・ストークス方程式は、工学や自然科学のさまざまな分野を支える基盤的な式です。この方程式を理解することは、物理現象の本質を捉え、社会の安全性、効率性を高める技術開発に繋がります。

一方、完全な数学的理解に至っていないことは、人類が自然現象をまだ完全に掌握していないことの象徴とも言えます。そのため、この方程式は理論・工学・数学の境界領域で今なお重要な研究テーマとなっています。