フェルマーの最終定理 | Fermat’s Last Theorem

フェルマーの出生地
フランス南部のボーモン＝ド＝ロマーニュ（Beaumont-de-Lomagne）。

フェルマーの最終定理を発表した街
フェルマー自身は、この定理を正式に発表しませんでしたが、彼がその定理を書き残したのは、フランス南部のトゥールーズ（Toulouse）とされています。彼はトゥールーズで法務官として勤務していました。

アンドリュー・ワイルズの出生地
イギリスのケンブリッジ（Cambridge）。

ワイルズが証明を発表した街
1993年6月、イギリスのケンブリッジ（Cambridge）で開催された数学会議において、フェルマーの最終定理の証明を初めて発表しました。その後、証明の不備を修正した最終版は1994年にアメリカ・ニュージャージー州のプリンストン（Princeton）で完成しています。

フェルマーの最終定理の証明

フェルマーの最終定理（Fermat’s Last Theorem）は、次のシンプルな式から始まります。

\[x^n + y^n = z^n\]

ここで、x,y,z は自然数、n は3以上の自然数です。フェルマーの主張は、この条件を満たす整数の組 (x,y,z)(x,y,z) は存在しない、というものでした。以下では、この定理を証明したアンドリュー・ワイルズ（Andrew Wiles）の証明アイデアを、式の変形を用いて簡略化して解説します。

Step 1: 仮に反例があると仮定

フェルマーの最終定理が正しくないと仮定すると、次のような自然数の組 (a,b,c)が存在することになります。

\[a^n + b^n = c^n \quad (n \geq 3)\]

Step 2: この仮定から楕円曲線を作る

ワイルズは、このような整数解が存在すれば、ある特定の「楕円曲線」が作れることに注目しました。その楕円曲線とは次のような形で表現されます。

\[y^2 = x(x – a^n)(x + b^n)\]

この曲線は整数解の存在を仮定して作られたため、特別な性質を持ちます。

Step 3: 谷山–志村予想（モジュラー性定理）の利用

谷山–志村予想（現在はモジュラー性定理と呼ばれる）によると、「すべての楕円曲線はモジュラー形式と対応している」とされています。これを簡単に書くと、

楕円曲線↔モジュラー形式

という対応関係が成り立つことを示します。具体的には、楕円曲線の「数論的な性質」（整数解の数や分布）と、モジュラー形式という複素解析の分野で研究される「解析的な性質」（特殊な周期的性質を持つ関数）の間に深い関係性があるということです。

式で表現すると、

\[L(E, s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\]

というL関数（楕円曲線のL関数）を定義します。ここで、a_n は楕円曲線 E の性質を反映した特定の整数（フーリエ係数）であり、s は複素数変数です。このL関数が、モジュラー形式のL関数と一致することが谷山–志村予想の本質的な主張となります。

具体的には、次のような等式が満たされます。

L(E, s) = L(f, s)

ここで はモジュラー形式を表します。この対応が存在すれば、楕円曲線は解析的に扱うことが可能になります。

Step 4: モジュラー形式との矛盾の導出

しかし、上記の式で定義された楕円曲線を詳細に分析すると、この楕円曲線がモジュラー形式に対応しないことが明らかになります。つまり、この楕円曲線は「存在できない」ことになります。

式で書くと、

\[y^2 = x(x – a^n)(x + b^n) \]

がモジュラー形式を持たない

Step 5: 矛盾から定理の証明へ

よって、元々の仮定である「aⁿ+bⁿ=cⁿ を満たす整数が存在する」という前提が誤りだったことになります。つまり、

\[a^n + b^n = c^n \quad (n \geq 3)\]

を満たす整数解は存在しません。これがフェルマーの最終定理の証明の流れです。

まとめ

ワイルズはフェルマーの最終定理を、「整数解の存在」→「楕円曲線の存在」→「モジュラー形式との対応」という数学的な枠組みで捉え、最終的に矛盾を示すことで、360年以上解かれなかった歴史的難問を証明したのです。

この証明によって、整数論や幾何学、解析学などの数学分野が融合し、新たな数学の世界が開かれるきっかけとなりました。

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楕円曲線とモジュラー形式の対応関係を示す代表的な例として、よく知られるのが「導手11の楕円曲線とモジュラー形式の対応」です。以下、具体的な式で説明します。

【楕円曲線 ↔︎ モジュラー形式の例】

楕円曲線の例（導手11の楕円曲線）：

次のような方程式で与えられる楕円曲線を考えます。

\[y^2 + y = x^3 – x^2 – 10x – 20\]

この曲線は、「導手11の楕円曲線」として知られています。

対応するモジュラー形式：

一方、この楕円曲線に対応するモジュラー形式（ウェイト2、導手11）は次のようなq展開（フーリエ展開）で表されます。

\[f(q) = q \prod_{n=1}^{\infty}(1 – q^n)^2(1 – q^{11n})^2\]

これはさらに明示的に展開すると、

\[f(q) = q – 2q^2 – q^3 + 2q^4 + q^5 + 2q^6 – 2q^7 – 2q^9 – 2q^{10} + q^{11} + 4q^{12} + \cdots\]

のような形で表示されます。

L関数による対応の明確化：

この楕円曲線とモジュラー形式は、それぞれのL関数が一致することを通じて対応付けられます。

• 楕円曲線のL関数（数論的情報を集約したもの）
• モジュラー形式のL関数（フーリエ係数を用いて作られる解析的情報）

これらが全く同じ関数として一致します。式で表すと、 L(E,s)=L(f,s)

です。ここでの一致は、整数解や有理点の性質が、モジュラー形式の解析的な性質と完全に一致していることを示しています。

歴史的な意義：

この対応例（導手11の楕円曲線）は、数学者Goro Shimura（志村五郎）とYutaka Taniyama（谷山豊）による「谷山–志村予想」の重要な具体例であり、この予想が証明されるきっかけとなった中心的な事例です。特に、Kenneth Ribet（ケン・リベット）が1986年にこの例を利用して「谷山–志村予想が成立すればフェルマーの最終定理も証明される」ということを示し、これがAndrew Wilesが証明を目指す直接の動機となりました。