Hyper Bolic Geometry｜双曲幾何学

双曲幾何学（Hyperbolic Geometry）の歴史を簡潔かつ明確に整理します。

【１】双曲幾何学とは（概念の確認）

双曲幾何学は非ユークリッド幾何学の一つであり、ユークリッド幾何学の第五公準（平行線公準）を否定し、「一点を通り、与えられた直線に平行な直線が無数に存在する」という性質を持つ幾何学です。

【２】双曲幾何学の歴史的な流れ

（1）ユークリッドの『原論』と第五公準問題（紀元前300年頃）

• 古代ギリシャの数学者ユークリッド（Euclid）が『原論（Elements）』で幾何学を体系化。
• 第五公準（平行線公準）は他の公準と比べて明らかではなく、「証明可能な定理ではないか？」という議論が生じました。

（2）中世～近世の試み（9～17世紀）

• イスラム数学者（イブン・アル＝ハイサム、ナスィールッディーン・トゥースィーなど）が第五公準を証明しようと試みましたが、成功しませんでした。
• 近世ヨーロッパ（17世紀以降）でも、数学者らが証明を試みるが、ことごとく失敗。

（3）非ユークリッド幾何学の誕生（19世紀初頭）

• カール・フリードリヒ・ガウス（Carl Friedrich Gauss）（1777–1855）が、1810年代～1820年代に非ユークリッド的な幾何学の可能性を最初に考察しました。ただし彼は結果を公表しませんでした。
• ヤーノシュ・ボーヤイ（János Bolyai）（1802–1860）と ニコライ・ロバチェフスキー（Nikolai Lobachevsky）（1792–1856）がそれぞれ独立に1820年代～1830年代に「平行線公準を否定した幾何学」を発見、公開しました。これが双曲幾何学の公式な誕生です。

（4）幾何学の体系化とモデル構築（19世紀中頃～後半）

• オイゲン・ベルトラミ（Eugenio Beltrami）（1835–1900）が1868年に「ベルトラミ・クラインモデル」を提示し、双曲幾何学の無矛盾性（ユークリッド幾何学に矛盾がなければ、双曲幾何学にも矛盾がないこと）を証明しました。
• アンリ・ポアンカレ（Henri Poincaré）（1854–1912）は1882年に「ポアンカレ円板モデル」や「ポアンカレ半平面モデル」を提唱し、双曲幾何学を直感的にわかりやすく可視化しました。

（5）20世紀以降の展開

• アルバート・アインシュタイン（Albert Einstein）の一般相対性理論（1915年）において、曲がった時空（リーマン幾何学や双曲的空間を含む）の概念が重要になりました。
• 双曲幾何学はさらに現代の数学（トポロジー、幾何学的群論、フラクタル幾何学）、理論物理学（反ド・ジッター空間、ホログラフィック原理、宇宙論）へと展開しました。

【３】重要人物と出来事のまとめ（年表形式）

【４】双曲幾何学の意義（歴史的影響）

• 双曲幾何学の発見は、それまで絶対的真理と考えられていたユークリッド幾何学への挑戦であり、「絶対的な数学的真理」の概念を変えました。
• 幾何学が「唯一絶対なもの」ではなく、「選択可能な複数の体系の一つ」であることが明らかになりました。
• 物理学（特に相対性理論）において時空の構造を記述する基礎として非常に重要な役割を果たしました。

【５】現代における応用・重要性

• 一般相対性理論（ブラックホール理論、宇宙論など）
• AdS/CFT対応（ホログラフィー理論）
• 複雑系科学（社会ネットワークの解析など）
• 新たなトポロジカル物質の研究（双曲格子）

双曲幾何学の歴史

双曲幾何学は、19世紀にロバチェフスキー、ボーヤイによって公に発表され、その後ベルトラミやポアンカレによって体系化されました。20世紀には相対性理論を経て物理学へ展開され、21世紀においても理論物理学や数学、ネットワーク科学に影響を与え続けている重要な幾何学です。