ゲージ対称性｜Gauge Symmetry

ゲージ理論（Gauge Theory）の成立には、歴史的に以下の流れと背景があります。

📌① ゲージ理論の起源（1918年〜）

• ヘルマン・ワイル（Hermann Weyl, 1885-1955） が1918年に初めて「ゲージ（gauge）」という概念を提案。
• 元々の意味は、「スケール（目盛り）」の自由な変更という考え方だった。
• ワイルは、一般相対論を拡張して電磁場を幾何学的に説明しようと試みたが、当時はうまくいかず物理的には受け入れられなかった。

当初のゲージ概念の本質

• 「局所的に尺度を変換する自由（local scale invariance）」として考えられた。
• ワイルの試みは失敗だったが、「ゲージ」という考え方だけは後に別の文脈で再活用されることになる。

📌② 量子力学・量子場理論への導入（1920-1940年代）

• ワイルのゲージ理論の概念は、量子力学の発展と共に再解釈される。
• 特に電磁場の理論（量子電磁力学：QED）において、ゲージ変換が重要であることが明確になる。

量子力学における再解釈（1927〜1929年頃）

• 電磁場のポテンシャルを、位相変換（波動関数の局所位相変換）と結びつけることが可能となった。
• ここで「ゲージ自由度」は「位相（フェーズ）の自由度」へと転換される。

📌②-補足：ヤン＝ミルズ理論（1954年）

• チェン・ニン・ヤン（楊振寧, Chen-Ning Yang） と ロバート・ミルズ（Robert Mills） が1954年に発表。
• それまで電磁場に限定されていたゲージ理論の考え方を、電磁力以外の「非可換ゲージ理論」として一般化。
• SU(2)のゲージ理論を提唱（ただし当初は物理的意味が明確ではなかった）。

📌③ ゲージ理論の物理的意義の確立（1960〜70年代）

1960年代から1970年代にかけて、ゲージ理論の重要性が実験的にも理論的にも明確にされます。

• 1967年：電弱統一理論
  • ワインバーグ（Steven Weinberg）、サラム（Abdus Salam）、グラショー（Sheldon Glashow）らにより、電磁相互作用と弱い相互作用を統合する ワインバーグ・サラム理論（電弱統一理論）が提唱される。
  • SU(2) × U(1)のゲージ群を用いて記述。
• 1970年代：量子色力学（QCD）
  • クォーク間の強い力を記述するためにSU(3)のゲージ理論が導入される。
  • 物理的には量子色力学（Quantum Chromodynamics, QCD）として確立。

📌④ 幾何学との結びつき（Fiber Bundleによる幾何学的解釈）

• ゲージ理論を数学的に明確に位置づけるために、数学者と物理学者が協力して1970年代頃から ファイバー束（Fiber Bundle） を導入。
• 代表的な人物：
  • マイケル・アティヤ（Michael Atiyah）
  • シンガー（Isadore Singer）
  • 数学的基盤が明確になり、ゲージ理論は現代物理の基礎理論へと昇華。

📌⑤ 現代物理におけるゲージ理論の重要性

• 標準模型（Standard Model）：
  • 素粒子物理学における基本相互作用はすべてゲージ理論で記述される。
    • 電弱相互作用（SU(2)×U(1)）＋強い相互作用（SU(3)）で構成される。
• 重力以外のすべての基本力はゲージ理論として統一的に理解されている。

📌⑥ なぜゲージ対称性が「幾何学」なのか？

• ゲージ理論は、抽象的な「内部空間」を持ち、数学的には「ファイバー束」の幾何構造で表現される。
• ゲージ変換は、このファイバー束上の幾何学的な座標変換に相当する。
• この幾何学的解釈が、ゲージ理論を理解する上で極めて重要。

🎯【まとめ】

ゲージ理論は単なる数学的記号操作ではなく、内部空間の構造を研究する「幾何学」としての側面を持つことが、現代物理と数学の融合の典型例として捉えられています。

以上の流れから、CPT対称性と同様に、ゲージ理論（ゲージ対称性）は「幾何学」の一種として位置づけられます。

CPT対称性（CPT Symmetry）は、「時空対称性（spacetime symmetry）」に分類されます。特に、物理学における基本的な対称性の一つであり、幾何学的に表現すると「ローレンツ幾何学（Lorentzian geometry）」に基づいています。

詳しく説明すると：

• CPT対称性とは、粒子物理学における3つの変換を同時に適用することで得られる対称性です。
  • C（Charge conjugation）：電荷共役変換
    → 粒子と反粒子を入れ替える変換。
  • P（Parity transformation）：空間反転変換
    → 空間座標を反転させる（鏡映する）変換。
  • T（Time reversal）：時間反転変換
    → 時間の流れを逆転させる変換。
• 物理法則がこれら3つの操作を同時に適用すると不変であるというのが、「CPT対称性」です。この性質は、量子場の理論（QFT：Quantum Field Theory）において厳密に成り立つ基本的な原理（CPT定理）として知られています。

幾何学的な観点：

• CPT対称性は、ミンコフスキー空間（Minkowski spacetime）という時空の幾何学的構造に関係しています。これは特殊相対性理論の舞台となる時空であり、ローレンツ変換によって特徴付けられます。
• 幾何学的に言えば、CPT対称性は「ローレンツ対称性（Lorentz symmetry）」というミンコフスキー空間特有の性質に由来しています。つまり、「ローレンツ幾何学」という幾何学の一種に分類されることになります。