微分幾何学｜Differential Geometry
微分幾何学（Differential Geometry）の歴史を、起源から現代まで簡潔に整理して説明します。
📌 微分幾何学（Differential Geometry）とは何か？
微分幾何学は、曲線や曲面などの幾何学的な性質を微分・積分などの解析学の手法を用いて研究する数学の分野です。
物理学（特に一般相対性理論）、工学、理論物理学（弦理論）など、広く応用されています。
【１】初期の起源（17〜18世紀初頭）：微積分と幾何学の融合
● 17世紀（解析幾何学・微積分の発明）
- デカルト（René Descartes）（1637年）：『解析幾何学』により幾何学を代数化。
- ニュートン（Newton） や ライプニッツ（Leibniz） による微積分学（17世紀末）が幾何学を扱うための強力な数学的手法を提供しました。
■ 初期の重要な概念：
- 接線、接平面
- 曲率（curvature）・曲線の性質を解析する概念が登場しました。
【２】発展期（18〜19世紀前半）：ガウスの登場と本格的な体系化
① ガウスの革命的貢献（1827年）
- カール・フリードリヒ・ガウス（Carl Friedrich Gauss）（1777-1855）は、1827年に『曲面の一般的研究』（Disquisitiones generales circa superficies curvas）を発表し、本格的な微分幾何学を創始しました。
- 曲面の「曲率（ガウス曲率）」という内在的な性質を定義。曲面自体に本質的な性質があり、3次元空間に埋め込むことに依存しないことを証明（Theorema Egregium）しました。
② 曲線・曲面の数学的な分類（19世紀前半）
- フレネ・セレの公式（Frenet–Serret formulas）が登場し、曲線や曲面の曲率・ねじれの数学的な性質が体系化されました。
【２】微分幾何学の本格的発展と多様体概念（19世紀後半〜20世紀初頭）
① リーマンによる現代的な基礎の形成（1854年）
- ベルンハルト・リーマン（Bernhard Riemann）（1826–1866）は、1854年の有名な講演『幾何学の基礎にある仮説について』で、任意次元の曲がった空間（リーマン多様体）の概念を定義しました。
- リーマン幾何学は一般相対性理論（アインシュタイン）や微分幾何学の現代的発展に大きな影響を与えました。
② リッチ、レビ・チビタらの貢献（20世紀初頭）
- リッチ（Ricci） と レビ・チビタ（Levi-Civita） はリーマン幾何学を厳密化し、「テンソル解析」の手法を発展させました。
- レビ・チビタ接続 や リッチ曲率 など、微分幾何学を物理学に応用するための重要な数学的枠組みを整備しました。
【２】物理学との密接な関連（20世紀前半）
アインシュタインの一般相対性理論（1915年）
- アインシュタインは一般相対性理論の中で微分幾何学（特にリーマン幾何学）を用いて「重力＝時空の曲率」という考え方を提唱しました。
- 微分幾何学が物理世界の本質を記述する上で不可欠な数学的手法となりました。
【３】現代微分幾何学の発展（20世紀後半〜現在）
① 新たな幾何学的対象の登場（1950年代〜）
- エウジェニオ・カラビ（Calabi）が1950年代にリッチ平坦なケーラー多様体（後のカラビ・ヤウ多様体）の研究を始め、1970年代に**シン＝トゥン・ヤウ（Shing-Tung Yau）**が厳密な証明を完成しました。
② 物理学（超弦理論・場の理論）との融合（1980年代〜）
- 超弦理論での「カラビ・ヤウ多様体」の利用により、微分幾何学は現代理論物理学の中心に位置付けられました。
- **トポロジカル場の理論（Topological Field Theory）**の発展とともに、ゲージ理論、トポロジカル物質（Topological matter）との関係も密接になりました。
📌 微分幾何学の歴史的整理（まとめ表）
| 時代 | 主な数学者 | 主な出来事 |
|---|---|---|
| 17-18世紀 | デカルト、ニュートン、ライプニッツ | 微積分学による幾何学の数学化 |
| 19世紀前半 | ガウス | 曲面の微分幾何学の基礎を築く（Theorema Egregium） |
| 19世紀後半 | リーマン | 現代的なリーマン幾何学の基礎を構築 |
| 20世紀初頭 | リッチ、レビ・チビタ、アインシュタイン | 微分幾何学の物理的応用（一般相対性理論） |
| 20世紀後半以降 | カラビ、ヤウ | カラビ・ヤウ多様体（弦理論との融合） |
📌 微分幾何学の社会的・思想的背景との関係
- 微分幾何学の発展は「絶対的な空間の概念」から「曲がった多様な空間」という相対的視点の受容と関連しています。
- 特にアインシュタインの一般相対性理論（1915年）は、「絶対的な時空」の考え方を変革し、社会的にも哲学的にも影響を与えました。
📌 結論（微分幾何学の歴史のまとめ）
微分幾何学の歴史は、
- 微積分の発明（17世紀末）
- ガウスによる曲面論の体系化（1827年）
- リーマンによる多様体の概念の創始（1854年）
- 一般相対性理論を通じた物理学との結合（20世紀初頭）
- 超弦理論やカラビ・ヤウ幾何学など現代物理との深い関連（20世紀後半〜現在）
という段階を経て展開し、数学だけでなく物理学を通じて現代科学全体に重大な影響を与えています。